جاميٽري رستا ۽ ڪاٺيون

هي مضمون لکڻ دوران، مون کي جان پيٽرزاڪ جو هڪ تمام پراڻو گانا ياد اچي ويو، جيڪو هن پنهنجي طنزيه سرگرميءَ کان اڳ ڳايو هو ڪئبري Pod Egidą ۾، جنهن کي پولش پيپلز ريپبلڪ ۾ سيفٽي والو طور سڃاتو وڃي ٿو؛ سسٽم جي تضاد تي ايمانداري سان کلڻ کپي. هن گيت ۾، ليکڪ سوشلسٽ سياسي شموليت جي سفارش ڪئي، جيڪي غير سياسي ٿيڻ چاهيندا آهن ۽ اخبار ۾ ريڊيو بند ڪرڻ چاهيندا آهن. ”اهو بهتر آهي ته واپس اسڪول جي پڙهائي ڏانهن وڃو ،“ ان وقت جي XNUMX سالن جي پيٽشاڪ طنزيه انداز ۾ ڳايو.

مان واپس اسڪول وڃي رهيو آهيان پڙهڻ. مان شيپن يلنسڪي (1881-1949) جو ڪتاب ”ليلاوتي“ (پهريون ڀيرو نه) ٻيهر پڙهي رهيو آهيان. ٿورن پڙهندڙن لاء، لفظ پاڻ کي ڪجهه چوي ٿو. هيءُ مشهور هندو رياضي دان ڀاسڪرا (1114-1185ع) جي ڌيءَ جو نالو آهي، جنهن جو نالو اڪريا آهي، يا ان بابا جو نالو آهي، جنهن هن نالي سان الجبرا تي پنهنجي ڪتاب جو نالو ڏنو. ليلاوتي بعد ۾ پاڻ هڪ مشهور رياضي دان ۽ فلسفي بڻجي وئي. ٻين ذريعن موجب، اها هوء هئي جنهن ڪتاب پاڻ لکيو.

Szczepan Yelensky اهو ئي عنوان پنهنجي رياضي تي ڪتاب کي ڏنو (پهريون ايڊيشن، 1926). هن ڪتاب کي هڪ رياضياتي ڪم سڏڻ به مشڪل ٿي سگهي ٿو - اهو وڌيڪ پزلن جو هڪ مجموعو هو، ۽ گهڻو ڪري فرانسيسي ذريعن کان ٻيهر لکيو ويو آهي (جديد معنيٰ ۾ ڪاپي رائيٽ موجود نه هئي). ڪنهن به صورت ۾، ڪيترن ئي سالن تائين اهو رياضي تي صرف مشهور پولش ڪتاب هو - بعد ۾ Jelensky جو ٻيو ڪتاب، Pythagoras's Sweets، ان ۾ شامل ڪيو ويو. تنهن ڪري نوجوان ماڻهو جيڪي رياضي ۾ دلچسپي وٺندا هئا (جيڪو بلڪل اهو آهي جيڪو هڪ ڀيرو هو) انهن مان چونڊڻ لاء ڪجهه به نه هو ...

ٻئي طرف ”ليلاوتي“ کي دل ئي دل سان سڃاڻڻ گهربو هو... آه، اهڙا به وقت آيا هئا... انهن جو سڀ کان وڏو فائدو اهو هو ته مان... تڏهن نوجوان هئس. اڄ، هڪ پڙهيل لکيل رياضي دان جي نقطه نگاهه کان، مان ليلاوتي کي بلڪل مختلف انداز ۾ ڏسان ٿو - شايد هڪ چڙهائيندڙ وانگر، جيڪو شيپگلاسوا شيلينچ ڏانهن رستي جي موڙ تي آهي. نه ته هڪ ۽ نه ٻيو پنهنجو ڪشش وڃائي ٿو... پنهنجي مخصوص انداز ۾ شيپن يلنسڪي، جيڪو پنهنجي ذاتي زندگيءَ ۾ نام نهاد قومي خيالن جو اظھار ڪري ٿو، سو مقدمي ۾ لکي ٿو:

قومي خاصيتن جي تشريح تي ڌيان ڏيڻ کان سواءِ، مان اهو چوندس ته نوين سالن کان پوءِ به رياضي بابت يلنسڪي جا لفظ پنهنجي لاڳاپا نه وڃائي چڪا آهن. رياضي توهان کي سوچڻ سيکاري ٿي. اها هڪ حقيقت آهي. ڇا اسان توھان کي سيکاري سگھون ٿا ته مختلف طرح سان سوچڻ، وڌيڪ سادو ۽ وڌيڪ خوبصورتي سان؟ ٿي سگهي ٿو. اهو صرف آهي ... اسان اڃا تائين نٿا ڪري سگهون. مان پنهنجي شاگردن کي سمجهايان ٿو جيڪي رياضي نٿا ڪرڻ چاهين ته اهو پڻ سندن ذهانت جو امتحان آهي. جيڪڏهن توهان رياضي جو سادو نظريو نه ٿا سکي سگهو، ته پوءِ... ٿي سگهي ٿو توهان جون ذهني صلاحيتون اسان ٻنهي کان وڌيڪ خراب هجن...؟

سانت ۾ نشانيون

۽ هتي "ليلاوتي" ۾ پهرين ڪهاڻي آهي - هڪ ڪهاڻي فرانسيسي فيلسوف جوزف ڊي ماستر (1753-1821) جي بيان ڪيل آهي.

تباهه ٿيل ٻيڙيءَ مان هڪ ملاح هڪ خالي ڪناري تي لهرن ذريعي اڇلايو ويو، جنهن کي هو غير آباد سمجهي رهيو هو. اوچتو، ساحلي رڻ ۾، هن ڏٺو ته هڪ جاميٽري شڪل جو نشان ڪنهن جي سامهون ٺهيل آهي. تڏهن کيس احساس ٿيو ته هي ٻيٽ ويران نه آهي!

ڊي ميسٽري جو حوالو ڏيندي يلنسڪي لکي ٿو: جاميٽري شڪلاهو بدقسمت، ٻيڙيءَ جي تباهي، اتفاق لاءِ هڪ خاموش اظهار هوندو، پر هن هن کي هڪ نظر ۾ تناسب ۽ تعداد ڏيکاريو، ۽ اهو هڪ روشن خيال انسان جو اعلان ڪيو. تاريخ لاء تمام گهڻو.

ياد رهي ته ملاح به ساڳيو ردعمل پيدا ڪندو، مثال طور، خط K، ... ۽ ڪنهن شخص جي موجودگيءَ جا ٻيا نشان ڪڍڻ سان. هتي جاميٽري مثالي آهي.

بهرحال، فلڪيات دان Camille Flammarion (1847-1925) تجويز ڪيو ته تهذيبون جاميٽري استعمال ڪندي پري کان هڪ ٻئي کي سلام ڪن ٿيون. هن ڏٺو ته ان ۾ رابطي جي واحد صحيح ۽ ممڪن ڪوشش. اچو ته اهڙن مارٽينن کي پيٿاگورين ٽڪنڊيز ڏيکاريون... اهي اسان کي ٿائلز سان جواب ڏين، اسان انهن کي ويٽا نمونن سان جواب ڏينداسين، انهن جو دائرو هڪ ٽڪنڊي ۾ ٺهندو، پوءِ هڪ دوستي شروع ٿي وئي...

ليکڪ جهڙوڪ جولس ويرن ۽ اسٽينسلاو ليم هن خيال ڏانهن موٽيا. ۽ 1972 ۾، جاميٽري (۽ نه رڳو) نمونن سان ٽائلس بورڊ تي پائنيئر پروب تي رکيا ويا، جيڪي اڃا تائين خلا جي توسيع کي پار ڪري ٿو، هاڻي اسان کان تقريبا 140 astronomical يونٽ (1 I آهي ڌرتيء کان ڌرتيء جو سراسري فاصلو) . سج، يعني اٽڪل 149 ملين ڪلوميٽر). ٽائل ٺهيل هئي، جزوي طور، فلڪيات دان فرينڪ ڊريڪ طرفان، جيڪو غير ملڪي تمدن جي تعداد تي تڪراري حڪمراني جو خالق هو.

جاميٽري شاندار آهي. اسان سڀني کي هن سائنس جي اصليت تي عام نقطه نظر جي ڄاڻ آهي. اسان (اسان انسانن) صرف زمين کي ماپڻ شروع ڪيو آهي (۽ بعد ۾ زمين) سڀ کان وڌيڪ مفيد مقصدن لاءِ. فاصلن جو تعين ڪرڻ، سڌيون لائينون ٺاھڻ، ساڄي زاوين کي نشانو بڻائڻ ۽ مقدار جي حساب سان آهستي آهستي ھڪ ضرورت بڻجي وئي. ان ڪري سڄي ڳالهه جاميٽري ("زمين جي ماپ")، تنهنڪري سڀ رياضيات ...

تنهن هوندي به، ڪجهه وقت لاء سائنس جي تاريخ جي هن واضح تصوير اسان کي بادل. ڇاڪاڻ ته جيڪڏهن رياضي کي صرف عملي مقصدن لاءِ گهربل هجي ها ته اسان سادي نظريي کي ثابت ڪرڻ ۾ مصروف نه هجون ها. ”توهان ڏسندا ته اهو بلڪل صحيح هجڻ گهرجي،“ ڪو به چيڪ ڪرڻ کان پوءِ چوندو ته ڪيترن ئي ساڄي ٽڪنڊن ۾ hypotenuses جي چورس جو مجموعو hypotenuses جي چورس جي برابر آهي. اهڙي رسم الخط ڇو؟

پلم پائي لذيذ ٿيڻو پوندو، ڪمپيوٽر پروگرام کي ڪم ڪرڻو پوندو، مشين کي ڪم ڪرڻو پوندو. جيڪڏهن مان بيرل جي گنجائش ٽيهه ڀيرا ڳڻيو ۽ هر شيءِ ترتيب سان آهي ته پوءِ ٻيو ڇو؟

ان دوران، قديم يونانين کي اهو محسوس ٿيو ته ڪجهه رسمي ثبوت ڳولڻ جي ضرورت آهي.

تنهن ڪري، رياضي جي شروعات ٿيلس (625-547 BC) سان ٿيندي آهي. اهو فرض ڪيو ويو آهي ته اهو Miletus هو، جنهن کي حيران ڪرڻ لڳو. هوشيار ماڻهن لاءِ اهو ڪافي ناهي ته انهن ڪجهه ڏٺو آهي، ته هو ڪنهن شيءِ جا قائل آهن. انهن ڏٺو ته ثبوت جي ضرورت آهي، دليلن جو هڪ منطقي تسلسل فرض کان ٿيسز تائين.

اهي پڻ وڌيڪ چاهيندا هئا. اهو شايد ٿيلس هو، جنهن پهريون ڀيرو طبعي رجحان کي فطري انداز ۾ بيان ڪرڻ جي ڪوشش ڪئي، بغير ڪنهن خدائي مداخلت جي. يورپي فلسفو فطرت جي فلسفي سان شروع ٿيو - جيڪو اڳ ۾ ئي فزڪس جي پويان آهي (ان ڪري نالو: مابعد الطبيعت). پر يورپي اوٽلاجي ۽ قدرتي فلسفي جا بنياد پيٿاگورين (پيٿاگورس، سي. 580-سي. 500 ق.م) رکيا.

هن پنهنجو اسڪول ڪرٽون ۾ قائم ڪيو ڏکڻ ۾ اپينائن جزائر جي ڏکڻ ۾ - اڄ اسين ان کي هڪ فرقو سڏينداسين. سائنس (لفظ جي موجوده معنى ۾)، تصوف، مذهب ۽ تصور سڀ ويجھا ڳنڍيل آهن. ٿامس من (Thomas Mann) ڊاڪٽر فاسٽس جي ناول ۾ هڪ جرمن جمنازيم ۾ رياضي جا سبق تمام خوبصورت انداز ۾ پيش ڪيا. ماريا ڪوريٽسڪيا ۽ ويٽولڊ ويرپشا پاران ترجمو ڪيل، هي ٽڪرو پڙهي ٿو:

چارلس وان ڊورن جي دلچسپ ڪتاب The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day ۾، مون کي ڏاڍو دلچسپ نقطو نظر آيو. هڪ باب ۾، ليکڪ پٿگورين اسڪول جي اهميت کي بيان ڪري ٿو. باب جو عنوان مون کي ڏاڍو متاثر ڪيو. اهو پڙهي ٿو: "رياضي جي ايجاد: پيٿاگورينس".

اسان اڪثر بحث ڪندا آهيون ته ڇا رياضياتي نظريا دريافت ڪيا پيا وڃن (مثال طور نامعلوم زمينون) يا ايجاد ٿيل (مثال طور مشينون جيڪي اڳ موجود نه هيون). ڪجهه تخليقي رياضي دان پاڻ کي محقق طور ڏسندا آهن، ٻيا موجد يا ڊزائنر وانگر، گهٽ اڪثر شمار ڪندڙ.

پر هن ڪتاب جو مصنف عام طرح رياضي جي ايجاد بابت لکي ٿو.

مبالغيءَ کان فريب تائين

هن ڊگھي تعارفي حصي کان پوءِ، آءٌ شروع ڏانهن ويندس. جاميٽريبيان ڪرڻ لاءِ ته ڪيئن جاميٽري تي وڌيڪ ڀروسو هڪ سائنسدان کي گمراهه ڪري سگهي ٿو. جوهانس ڪيپلر کي فزڪس ۽ فلڪيات ۾ آسماني جسمن جي حرڪت جي ٽن قانونن جي دريافت ڪندڙ طور سڃاتو وڃي ٿو. پهرين، شمسي نظام ۾ هر سيارو سج جي چوڌاري هڪ بيضوي مدار ۾ گردش ڪري ٿو، سج ان جي هڪ مرڪز تي آهي. ٻيو، باقاعده وقفن تي سيارو جي اڳواڻي واري شعاع، سج مان ٺهيل، برابر شعبن کي ڇڪي ٿو. ٽيون، سج جي چوڌاري ڌرتيءَ جي انقلاب جي دور جي چورس جو تناسب ان جي مدار جي نيم وڏي محور جي ڪعبي (يعني سج کان سراسري فاصلو) نظام شمسي جي سڀني سيٽن لاءِ مستقل آهي.

شايد اهو ٽيون قانون هو- ان کي قائم ڪرڻ لاءِ تمام گهڻي ڊيٽا ۽ حسابن جي ضرورت هئي، جنهن ڪيپلر کي سيارن جي حرڪت ۽ پوزيشن ۾ نمونن جي ڳولا جاري رکڻ تي مجبور ڪيو. هن جي نئين "دريافت" جي تاريخ ڏاڍي سبق آموز آهي. قديم زماني کان وٺي، اسان نه رڳو باقاعده پولي هيڊرا کي ساراهيو آهي، پر اهو پڻ ڏيکاري ٿو ته انهن مان صرف پنج خلا ۾ آهن. هڪ ٽي-dimensional polyhedron کي ريگيولر چئبو آهي جيڪڏهن ان جا منهن هڪجهڙا ريگولر پوليگون هجن ۽ هر ويڪر ۾ ڪنارن جو تعداد ساڳيو هجي. مثال طور، هڪ باقاعده پوليڊرن جي هر ڪنڊ کي "ساڳي ڏسڻ" گهرجي. سڀ کان مشهور polyhedron ڪعب آهي. هر ڪنهن کي هڪ عام ٽنگ ڏٺو آهي.

باقاعده tetrahedron گهٽ ڄاڻايل آهي، ۽ اسڪول ۾ ان کي باقاعده ٽڪنڊي پيرامڊ سڏيو ويندو آهي. اهو هڪ پرامڊ وانگر ڏسڻ ۾ اچي ٿو. باقي ٽي باقاعده polyhedra گهٽ سڃاتل آهن. هڪ octahedron ٺهيل آهي جڏهن اسان ڪعب جي ڪنارن جي مرڪزن کي ڳنڍيندا آهيون. Dodecahedron ۽ icosahedron اڳ ۾ ئي گولن وانگر نظر اچن ٿا. نرم چمڙي مان ٺهيل، اهي کڏڻ لاء آرام سان هوندا. اهو دليل آهي ته پنجن پلاٽونڪ سولڊز کان سواءِ ڪو به باقاعده پولي هيڊرا نه آهي تمام سٺو آهي. پهرين، اسان اهو سمجهون ٿا ته جيڪڏهن جسم باقاعدي آهي، ته پوءِ هڪجهڙا عدد (Let q) هڪجهڙائي واري باقاعدي ڪثير الاضحيٰ جي هر ٿلهي تي گڏ ٿيڻ گهرجن، انهن کي p-Angles هئڻ ڏيو. هاڻي اسان کي ياد رکڻ جي ضرورت آهي ته زاويه ڇا آهي باقاعده پوليگون ۾. جيڪڏهن ڪو ماڻهو اسڪول کان ياد نٿو ڪري، اسان توهان کي ياد ڏياريندا آهيون ته ڪيئن صحيح نموني ڳولڻ لاء. اسان ڪنڊ جي چوڌاري سفر ڪيو. هر چوٽي تي اسان هڪ ئي زاويه ذريعي ڦيرايو a. جڏهن اسان پوليگون جي چوڌاري وڃون ٿا ۽ شروعاتي نقطي ڏانهن واپس وڃون ٿا، اسان p اهڙا موڙ ٺاهيا آهن، ۽ مجموعي طور تي اسان 360 درجا ڦري ويا آهيون.

پر α 180 درجا 'مڪمل آهي ان زاويه جو جنهن کي اسين ڳڻڻ چاهيون ٿا، ۽ ان ڪري آهي

اسان کي هڪ باقاعدي پوليگون جو زاويه (هڪ رياضي دان چوندو: هڪ زاويه جا قدم) جو فارمولو مليو آهي. اچو ته چيڪ ڪريو: مثلث p = 3 ۾، ڪو به نه آهي

هن وانگر. جڏهن p = 4 (مربع)، پوء

درجا پڻ ٺيڪ آهي.

اسان پينٽاگون لاءِ ڇا حاصل ڪريون؟ پوء ڇا ٿيندو جڏهن اتي q پوليگون آهن، هر p هڪ ئي زاويه آهن

 درجا هيٺ هڪ عمدي تي؟ جيڪڏهن اهو جهاز تي هجي ها ته هڪ زاويه بڻجي ها

درجا ۽ 360 درجا کان وڌيڪ نٿا ٿي سگهن - ڇاڪاڻ ته پوءِ پوليگون اوورليپ ٿين ٿا.

تنهن هوندي به، ڇاڪاڻ ته اهي ڪثرت خلاء ۾ ملن ٿا، زاويه مڪمل زاوي کان گهٽ هجڻ گهرجي.

۽ هتي اها عدم مساوات آهي جنهن مان اهو سڀ ڪجهه هيٺ اچي ٿو:

ان کي 180 سان ورهايو، ٻنهي حصن کي p، آرڊر (p-2) (q-2) < 4 سان ضرب ڪريو. اچو ته ڄاڻون ته p ۽ q قدرتي انگن جو هجڻ لازمي آهي ۽ اهو p > 2 (ڇو؟ ۽ p ڇا آهي؟) ۽ پڻ q > 2. ٻن قدرتي انگن جي پيداوار کي 4 کان گهٽ ڪرڻ جا ڪيترائي طريقا نه آهن. انھن سڀني کي جدول 1 ۾ لسٽ ڪندو.

مان ڊرائنگ پوسٽ نه ٿو ڪريان، هرڪو اهي انگ اکر ڏسي سگهن ٿا انٽرنيٽ تي... انٽرنيٽ تي... مان هڪ غزل جي تحرير کان انڪار نه ڪندس - شايد اهو نوجوان پڙهندڙن لاءِ دلچسپ آهي. 1970ع ۾ مون هڪ سيمينار ۾ تقرير ڪئي. موضوع مشڪل هو. مون وٽ تياريءَ لاءِ ٿورو وقت هو، مان شام جو ويھي رھيس. مکيه مضمون صرف پڙهڻ جي جاء تي هو. جڳهه آرامده هئي، ڪم ڪندڙ ماحول سان، خير، اهو ست تي بند ٿي ويو. پوءِ ڪنوار (هاڻي منهنجي زال) پاڻ مون لاءِ سڄو مضمون ٻيهر لکڻ جي آڇ ڪئي: اٽڪل هڪ درجن ڇپيل صفحا. مون ان کي نقل ڪيو (نه، ڪوئلي قلم سان نه، اسان وٽ قلم به هئا)، ليڪچر ڪامياب رهيو. اڄ مون هن اشاعت کي ڳولڻ جي ڪوشش ڪئي، جيڪا اڳ ۾ ئي پراڻي آهي. مون کي صرف ليکڪ جو نالو ياد آهي... انٽرنيٽ تي ڳولها ڪافي وقت هلي... پورا پندرهن منٽ. مان ان جي باري ۾ هڪ مسڪراهٽ ۽ ٿورڙي ناحق افسوس سان سوچيان ٿو.

اسان واپس وون ٿا ڪيپلرا ۽ جاميٽري. بظاهر، افلاطون پنجين باقاعدي شڪل جي وجود جي اڳڪٿي ڪئي، ڇاڪاڻ ته هن وٽ ڪا شيءِ نه هئي جيڪا متحد ٿي، سڄي دنيا کي ڍڪي. شايد ان ڪري ئي هن هڪ شاگرد (ٽيجٽ) کي هن جي ڳولا ڪرڻ جي هدايت ڪئي. جيئن ته هو، ائين ئي هو، جنهن جي بنياد تي ڊوڊيڪهڊرون دريافت ڪيو ويو. افلاطون جي انهيءَ روش کي اسين pantheism چئون ٿا. سڀني سائنسدانن، نيوٽن تائين، گهٽ ۾ گهٽ يا وڏي حد تائين ان کي تسليم ڪيو. ارڙهين صديءَ کان وٺي انتهائي عقلي طور تي، ان جو اثر تمام گهڻو گهٽجي ويو آهي، جيتوڻيڪ اسان کي ان حقيقت کان شرمسار نه ٿيڻ گهرجي ته اسين سڀ ڪنهن نه ڪنهن طريقي سان ان جو شڪار ٿي وڃون ٿا.

ڪيپلر جي شمسي نظام جي تعمير جي تصور ۾، سڀ ڪجھ صحيح هو، تجرباتي ڊيٽا نظريي سان ٺهڪي اچي ٿي، نظريو منطقي طور تي مطابقت رکندڙ، تمام خوبصورت ... پر مڪمل طور تي غلط. سندس وقت ۾، رڳو ڇهه سيارو ڄاڻندا هئا: عطارد، وينس، ڌرتي، مريخ، مشتري ۽ زحل. صرف ڇهه سيارا ڇو آهن؟ ڪيپلر پڇيو. ۽ ڪهڙي باقاعدي سج کان سندن فاصلو طئي ڪري ٿي؟ هن فرض ڪيو ته هر شيء سان ڳنڍيل هو، اهو جاميٽري ۽ cosmogony هڪ ٻئي سان ويجهڙائي سان لاڳاپيل آهن. قديم يونانين جي لکڻين مان، هن کي خبر هئي ته اتي رڳو پنج باقاعده polyhedra هئا. هن ڏٺو ته ڇهن مدارن جي وچ ۾ پنج خال آهن. تنهن ڪري ٿي سگهي ٿو انهن مان هر هڪ خالي جڳهون ڪجهه باقاعده پوليڊرن سان ملن ٿيون؟

ڪيترن سالن جي مشاهدي ۽ نظرياتي ڪم کان پوءِ، هن هيٺيون نظريو ٺاهيو، جنهن جي مدد سان هن مدار جي طول و عرض جو بلڪل صحيح اندازو لڳايو، جيڪو هن 1596ع ۾ ڇپيل ڪتاب ”Mysterium Cosmographicum“ ۾ پيش ڪيو: Imagine a giant sphere, جنهن جو قطر سج جي چوڌاري پنهنجي سالياني حرڪت ۾ عطارد جي مدار جو قطر آهي. پوءِ تصور ڪريو ته هن گولي تي هڪ باقاعده اوڪٽيڊرون آهي، ان تي هڪ گولو آهي، ان تي هڪ icosahedron آهي، ان تي وري هڪ گولو آهي، ان تي هڪ dodecahedron آهي، ان تي هڪ ٻيو گولو آهي، ان تي هڪ tetrahedron آهي، پوءِ وري هڪ گولو، هڪ ڪعب. ۽، آخرڪار، هن ڪعب تي بال بيان ڪيو ويو آهي.

ڪيپلر ان نتيجي تي پهتو ته انهن لڳاتار دائرن جا قطر ٻين سيارن جي مدارن جا قطر هئا: عطارد، وينس، ڌرتي، مريخ، مشتري ۽ زحل. نظريو بلڪل صحيح لڳي رهيو هو. بدقسمتي سان، اهو تجرباتي ڊيٽا سان ٺهڪي اچي ٿو. ۽ رياضياتي نظريي جي صحيحيت جو ان کان وڌيڪ ٻيو ڪهڙو ثبوت آهي جو ان جي تجرباتي ڊيٽا يا مشاهدي واري ڊيٽا سان مطابقت رکي ٿي، خاص طور تي "آسمان مان ورتل"؟ مان انهن حسابن کي جدول 2 ۾ مختصر ڪريان ٿو. پوءِ ڪيپلر ڇا ڪيو؟ مون ڪوشش ڪئي ۽ ڪوشش ڪئي جيستائين اهو ڪم نه ڪيو، اهو آهي، جڏهن ترتيب (شعاعن جي ترتيب) ۽ نتيجن جي حساب سان مشاهدو ڊيٽا سان ٺهڪي اچي ٿي. هتي آهن جديد ڪيپلر جا انگ اکر ۽ حساب ڪتاب:

ڪو به ماڻهو نظريي جي جذبي کي منهن ڏئي سگهي ٿو ۽ يقين ڪري سگهي ٿو ته آسمان ۾ ماپون غلط آهن، ۽ نه ئي ورڪشاپ جي خاموشيء ۾ ڪيل حساب. بدقسمتي سان، اڄ اسان ڄاڻون ٿا ته گهٽ ۾ گهٽ نو سيارو آهن ۽ نتيجن جا سڀئي اتفاق صرف هڪ اتفاق آهن. افسوس. اها تمام خوبصورت هئي ...