اسان صفر سان ڇو نه ورهايون؟

پڙهندڙ حيران ٿي سگهن ٿا ته مان هڪ سڄو مضمون اهڙي غير معمولي مسئلي لاء ڇو وقف ڪريان ٿو؟ ان جو سبب اهو آهي ته شاگردن جو بيحد تعداد (!) ان نالي هيٺ آپريشن ڪري رهيا آهن. ۽ نه رڳو شاگرد. ڪڏهن ڪڏهن مون کي پڪڙيو ۽ استاد. اهڙن استادن جا شاگرد رياضي ۾ ڇا ڪري سگهندا؟ هن متن لکڻ جو فوري سبب هڪ استاد سان ڳالهه ٻولهه هئي جنهن لاءِ صفر سان ورهائڻ ڪو مسئلو نه هو۔۔۔

صفر سان، ها، سواءِ ڪنهن به شيءِ جي پريشاني کان سواءِ، ڇو ته اسان کي ان کي روزمره جي زندگيءَ ۾ استعمال ڪرڻ جي واقعي ضرورت ناهي. اسان صفر انڊن لاءِ خريداري نٿا ڪريون. "ڪمري ۾ ھڪڙو ماڻھو آھي" آواز ڪجھھ قدرتي، ۽ "صفر ماڻھو" آواز مصنوعي. لسانيات جي ماهرن جو چوڻ آهي ته صفر ٻوليءَ جي نظام کان ٻاهر آهي.

اسان بئنڪ اڪائونٽن ۾ صفر کان سواءِ به ڪري سگھون ٿا: صرف استعمال ڪريو - جيئن ٿرماميٽر تي - ڳاڙھو ۽ نيرو مثبت ۽ منفي قدرن لاءِ (ياد رھي ته گرمي پد لاءِ اھو قدرتي آھي ته مثبت نمبرن لاءِ ڳاڙھو استعمال ڪيو وڃي، ۽ بئنڪ اڪائونٽس لاءِ. ٻيو رستو آهي چوڌاري، ڇاڪاڻ ته ڊيبٽ کي خبردار ڪرڻ گهرجي، تنهنڪري ڳاڙهو انتهائي سفارش ڪئي وئي آهي).

صفر کي قدرتي نمبر طور شامل ڪرڻ سان، اسان فرق جي مسئلي کي ڇڪيندا آهيون ڪارينل نمبر od گھر. اندر 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، …..

عدد جي طاقت ان جاءِ جي تعداد جي برابر آھي جتي اھو بيٺو آھي. ٻي صورت ۾، اهو اڳ ۾ ئي ترتيب ۾ آهي 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، …..

سنگلٽن سيٽن جو تعداد ٻيو اچي ٿو، ٻن عناصر سان سيٽن جو تعداد ٽيون اچي ٿو، وغيره. اسان کي وضاحت ڪرڻو پوندو ته ڇو، مثال طور، اسان شروع کان مقابلي ۾ رانديگرن جي جڳهن کي نمبر نه ڏيو. پوءِ پھريون نمبر کٽيندڙ کي چانديءَ جو تمغو ملندو (گولڊ صفر جي جاءِ تي کٽيندڙ کي ملي ويو)، وغيره وغيره. ڪجھه ساڳيو طريقو فٽبال ۾ استعمال ڪيو ويو - مون کي خبر ناهي ته پڙهندڙن کي خبر آهي ته "ليگ ون" جو مطلب آهي " بهترين جي پٺيان." "، ۽ صفر ليگ کي "ميجر ليگ" بنائڻ لاء سڏيو ويندو آهي.

ڪڏهن ڪڏهن اسان اهو دليل ٻڌون ٿا ته اسان کي شروع کان شروع ڪرڻ جي ضرورت آهي، ڇاڪاڻ ته اهو آئي ٽي ماڻهن لاء آسان آهي. انهن خيالن کي جاري رکندي، هڪ ڪلوميٽر جي وصف کي تبديل ڪرڻ گهرجي - اهو 1024 ميٽر هجڻ گهرجي، ڇاڪاڻ ته اهو هڪ ڪلو بائيٽ ۾ بائيٽ جو تعداد آهي (آئون ڪمپيوٽر جي سائنسدانن لاءِ هڪ مذاق جو حوالو ڏيندس: "هڪ تازو ماڻهو ۽ نئين انسان جي وچ ۾ ڇا فرق آهي؟ ڪمپيوٽر سائنس جو شاگرد ۽ هن فيڪلٽي جو پنجين سال جو شاگرد؟ ته هڪ ڪلو بائيٽ 1000 ڪلو بائيٽ آهي، آخري - ته هڪ ڪلوميٽر 1024 ميٽر آهي")!

هڪ ٻيو نقطو، جيڪو اڳ ۾ ئي سنجيدگي سان ورتو وڃي، اهو آهي: اسان هميشه شروع کان ماپ ڪريون ٿا! اهو ڪافي آهي ته حڪمران تي ڪنهن به پيماني تي ڏسڻ لاء، گهريلو اسڪيل تي، جيتوڻيڪ ڪلاڪ تي. جيئن ته اسان صفر مان ماپون ٿا، ۽ ڳڻپ کي هڪ ماپ جي طور تي سمجهي سگهجي ٿو هڪ طول و عرض يونٽ سان، پوء اسان کي صفر کان شمار ڪرڻ گهرجي.

اھو ھڪڙو سادو معاملو آھي، پر ...

اچو ته عام دليل کي ڇڏي ڏيو ۽ صفر جي تقسيم ڏانھن واپس وڃو. ڳالهه سادو آهي ۽ سادو هجي ها ته نه هجي ها... پوءِ ڇا ٿيو؟ اچو ته سوچيو ۽ ڪوشش ڪريو. اهو ڪيترو ٿي سگهي ٿو - هڪ صفر سان ورهايل؟ اچو ته ڏسو: 1/0 = x. ٻنهي پاسن کي کاٻي پاسي جي ڊنومنيٽر سان ضرب ڪريو.

اسان حاصل ڪريون 1 = 0. ڪجهه غلط آهي! ڇا ٿيو؟ اڙي گمان! اهو مفروضو ته وحدت ۽ صفر جو هڪ اقتباس آهي، تضاد ڏانهن وٺي وڃي ٿو. ۽ جيڪڏهن هڪ کي صفر سان ورهائي نٿو سگهجي، ته پوءِ ٻيو نمبر ڪري سگهي ٿو. جيڪڏهن، پڙهندڙ، توهان پنهنجي ڪلهن کي ڇڪيندا آهيو ۽ حيران ٿي ويندا آهيو ته ليکڪ (يعني، مان) اهڙين ڳالهين بابت ڇو لکي ٿو، پوء ... مون کي ڏاڍي خوشي ٿي!

فارمولا 0/0 = 0 هڪ ضد جي بنياد تي دفاع ڪري سگهجي ٿو، پر اهو قاعدي جي مخالفت ڪري ٿو ته هڪ عدد کي پاڻ ۾ ورهائڻ جو نتيجو هڪ جي برابر آهي. بلڪل، پر بلڪل مختلف آهن اهڙيون نشانيون جهڙوڪ 0/0، °/° ۽ جهڙوڪ حساب ڪتاب ۾. انهن جو مطلب ڪو به انگ نه آهي، پر خاص قسم جي مخصوص ترتيبن لاءِ علامتي نامزدگيون آهن.

هڪ برقي انجنيئرنگ ڪتاب ۾، مون کي هڪ دلچسپ مقابلو مليو: صفر سان ورهائڻ صرف ايترو خطرناڪ آهي جيترو تيز وولٽيج بجلي. اهو عام آهي: اوهم جو قانون ٻڌائي ٿو ته وولٽيج ۽ مزاحمت جو تناسب ڪرنٽ جي برابر آهي: V = U/R. جيڪڏهن مزاحمت صفر هجي ها ته نظرياتي طور تي لامحدود وهڪرو ڪنڊڪٽر ذريعي وهندو، سڀني ممڪن ڪنڊڪٽرن کي ساڙي ڇڏيندو.

مون هڪ دفعو هفتي جي هر ڏينهن لاءِ صفر سان ورهائڻ جي خطرن بابت هڪ نظم لکيو. مون کي ياد آهي ته سڀ کان وڌيڪ ڊرامائي ڏينهن خميس هو، پر هن علائقي ۾ منهنجي سڀني ڪم لاء افسوس آهي.

جڏهن توهان صفر سان ڪجهه ورهايو

سومر جي صبح جو

هفتو ڇا ٿيو

توهان اڳ ۾ ئي ناڪام ٿي چڪا آهيو.

جڏهن اڱارو ڏينهن

توھان ڊنومنيٽر ۾ صفر رکو

پوءِ مان توکي ٻڌايان ٿو ته تون غلط آهين

خراب رياضي دان!

جڏهن صفر ذريعي، تباهي جي ذريعي،

اربع تي ورهائڻ چاهيو

توهان تمام گهڻي تڪليف ۾ پئجي ويندا

توهان جي مٿي ۾ گاهه ۽ پاڻي آهي!

هڪ خاص Bartek اسان سان گڏ هو.

هو ضابطن جي خلاف هو.

خميس تي، اهو صفر سان ورهايل آهي.

هو هاڻي اسان جي وچ ۾ ناهي رهيو!

جيڪڏهن ڪا عجيب خواهش توهان کي پڪڙي ٿي

جمعه تي صفر کان ورهايو

مان ايماندار ٿيندس، مان ايماندار ٿيندس:

هن هفتي جي آخر ۾ خراب شروعات.

جڏهن اهو صفر آهي، ڪٿي ڇنڇر تي

ورهائيندڙ توهان جو هوندو (دليل نه)

چرچ جي باهه هيٺ گوڏن ڀر.

هي توهان جي قيامت آهي.

ڇا توھان چاھيو ٿا صفر ھيٺان،

آچر تي موڪل جو ڏينهن ٺاهيو

چاڪ آڻيو، بليڪ بورڊ.

لکو: اهو صفر سان تقسيم نه آهي!

صفر جو تعلق خالي ۽ بي نيازيءَ سان آهي. درحقيقت، هو رياضي ۾ هڪ مقدار جي طور تي آيو، جڏهن ڪنهن کي شامل ڪيو وڃي، ان کي تبديل نه ڪندو آهي: x + 0 = x. پر هاڻي صفر ٻين ڪيترن ئي قدرن ۾ ظاهر ٿئي ٿو، خاص طور تي جيئن پيماني جي شروعات. جيڪڏهن ونڊو جي ٻاهران نه ته مثبت گرمي پد آهي ۽ نه ٿڌو، پوء ... اهو صفر آهي، جنهن جو مطلب اهو ناهي ته ڪو به گرمي پد ناهي. هڪ صفر-ڪلاس يادگار اهو ناهي جيڪو هڪ ڊگهي وقت کان ڊاهي ويو آهي ۽ صرف موجود ناهي. ان جي برعڪس، اها واول، ايفل ٽاور ۽ مجسمو آزاديءَ وانگر آهي.

يقينن، هڪ پوزيشن واري نظام ۾ صفر جي اهميت کي مشڪل سان وڌائي سگهجي ٿو. ڇا توهان کي خبر آهي، پڙهندڙ، بل گيٽس جي بئنڪ اڪائونٽ ۾ ڪيترا صفر آهن؟ مون کي خبر ناهي، پر مان اڌ چاهيان ٿو. بظاهر، نيپولين بوناپارٽ محسوس ڪيو ته ماڻهو صفر وانگر آهن: اهي پوزيشن ذريعي معني حاصل ڪن ٿا. آندرز واجدا جي ڪتاب As the Years، As the Days Pass ۾، پرجوش فنڪار جرزي چوي ٿو: ”فليسٽر صفر آهي، نه، ڪجهه به ناهي، ڪجهه به ناهي، نه، صفر آهي. پر صفر سٺو ٿي سگهي ٿو: "صفر کان انحراف معمول" جو مطلب آهي سڀ ڪجهه ٺيڪ ٿي رهيو آهي، ۽ ان کي جاري رکو!

اچو ته رياضي ڏانهن واپس وڃو. صفر شامل ڪري سگھجي ٿو، گھٽائي سگھجي ٿو ۽ معافي سان ضرب ڪري سگھجي ٿو. ”مون صفر ڪلوگرام حاصل ڪيو،“ مانيا انيا کي چوي ٿو. "۽ اهو دلچسپ آهي، ڇاڪاڻ ته مون ساڳيو وزن وڃائي ڇڏيو آهي،" انيا جواب ڏنو. پوءِ اچو ته ڇھ دفعا آئس ڪريم جون XNUMX صفر سرونگ کائون، ان سان اسان کي ڪو نقصان نه ٿيندو.

اسان صفر سان ورهائي نٿا سگهون، پر اسين صفر سان ورهائي سگهون ٿا. زيرو ڊمپلنگ جي پليٽ آساني سان انھن کي ڏئي سگھجي ٿي جيڪي کاڌي جي انتظار ۾ آھن. هر هڪ کي ڪيترو ملندو؟

صفر مثبت يا منفي ناهي. هي ۽ نمبر غير مثبتи غير منفي. اهو عدم مساوات x≥0 ۽ x≤0 کي پورو ڪري ٿو. تضاد ”ڪجهه مثبت“ نه آهي ”ڪجهه منفي“، پر ”ڪجهه منفي يا صفر جي برابر“ آهي. رياضي دان، ٻوليءَ جي اصولن جي ابتڙ، هميشه چوندا ته ڪا شيءِ ”صفر جي برابر“ آهي ۽ نه ”صفر“. ھن عمل کي صحيح ثابت ڪرڻ لاءِ، اسان وٽ آھي: جيڪڏھن اسين پڙھون فارمولا x = 0 "x is equal to zero" پوءِ x = 1 اسان پڙھون ٿا "x is equal to one"، جيڪو نگلجي سگھجي ٿو، پر "x = 1534267" بابت ڇا آھي؟ ؟ توهان به عددي قدر نه ٿا ڪري سگهو ڪردار 0 کي⁰۽ نه ئي صفر کي منفي طاقت ڏانهن وڌايو. ٻئي طرف، توهان صفر کي روٽ ڪري سگهو ٿا ... ۽ نتيجو هميشه صفر هوندو. 

تجزياتي فعل y = a^xالف جو مثبت بنياد، ڪڏهن به صفر نه ٿيندو. اهو هيٺ ڏنل آهي ته ڪو به صفر لوگارٿم نه آهي. درحقيقت، a کان بي بنياد جو لوگارٿم اهو ايڪسپونٽ آهي جنهن ڏانهن بيس کي بلند ڪيو وڃي a جو لاگرتھم حاصل ڪرڻ لاءِ. a = 0 لاءِ، ڪو به اهڙو اشارو نه آهي، ۽ صفر منطقيت جو بنياد نه ٿو ٿي سگهي. بهرحال، نيوٽن جي علامت جي "ڊنومنيٽر" ۾ صفر ڪجهه ٻيو آهي. اسان سمجهون ٿا ته اهي ڪنوينشن هڪ تضاد جي اڳواڻي نه ڪندا آهن.

ڪوڙو ثبوت

صفر طرفان تقسيم غلط ثبوتن لاءِ هڪ عام موضوع آهي، ۽ اهو تجربو رياضي دانن کي به ٿئي ٿو. اچو ته مان توهان کي منهنجا ٻه پسنديده مثال ڏيان. پهريون آهي الجبري. مان "ثابت" ڪندس ته سڀئي انگ برابر آهن. فرض ڪريو اتي ٻه عدد آهن جيڪي برابر نه آهن. تنهن ڪري، انهن مان هڪ ٻئي کان وڏو آهي، ڏيو a > b. اچو ته سمجهون ته سي انهن جو فرق آهي

c \uXNUMXd a - b. تنهن ڪري اسان وٽ آهي a - b = c، جتان a = b + c.

اسان پوئين حصي جي ٻنهي حصن کي a - b سان ضرب ڪريون ٿا:

a² - ab = ab + ac - b2 - bc.

مان ترجمو ڪريان ٿو ak کي کاٻي پاسي، يقينا مون کي ياد آهي نشاني تبديل ڪرڻ بابت:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

مان عام فڪٽرن کي خارج ڪريان ٿو:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c)

مان حصيداري ڪريان ٿو ۽ مون وٽ آهي جيڪو مون چاهيو:

a = ب.

۽ اصل ۾ اجنبي به، ڇاڪاڻ ته مون سمجهيو ته a > b، ۽ مون کي ملي ٿو a = b. جيڪڏهن مٿي ڏنل مثال ۾ ”خيال“ کي سڃاڻڻ آسان آهي، ته پوءِ هيٺ ڏنل جاميٽري ثبوت ۾ اهو ايترو آسان ناهي. مان ثابت ڪندس ته ... trapezoid موجود ناهي. شڪل جنهن کي عام طور تي trapezoid سڏيو ويندو آهي موجود ناهي.

پر پهرين فرض ڪريو ته اتي ڪا اهڙي شيءِ آهي جيئن trapezoid (هيٺ ڏنل شڪل ۾ ABCD). ان جا ٻه متوازي پاسا ("بنيادي") آهن. اچو ته انهن بنيادن کي وڌايو، جيئن تصوير ۾ ڏيکاريل آهي، ته جيئن اسان کي هڪ متوازي گرام حاصل ٿئي. ان جا ڊگها تراپيزائڊ جي ٻين ديگنل کي حصن ۾ ورهائيندا آهن جن جي ڊگھائي x، y، z ظاهر ڪئي ويندي آهي، جيئن ته تصوير 1. ملندڙ مثلثن جي هڪجهڙائي مان، اسان تناسب حاصل ڪريون ٿا:

جتي اسان وضاحت ڪريون ٿا:

اوراز

جتي اسان وضاحت ڪريون ٿا:

ستارن سان نشان لڳل برابري جي پاسن کي گھٽايو:

 ٻنهي پاسن کي x − z سان مختصر ڪندي، اسان کي حاصل ٿيندو – a/b = 1، جنهن جو مطلب آهي a + b = 0. پر انگ a, b trapezoid جي بنيادن جي ڊيگهه آهن. جيڪڏهن انهن جو مجموعو صفر آهي، ته اهي پڻ صفر آهن. هن جو مطلب آهي ته هڪ trapezoid وانگر هڪ شڪل موجود نه ٿي سگهي! ۽ جيئن ته مستطيل، rhombuses ۽ چورس به trapezoids آهن، تنهن ڪري، پيارا پڙهندڙ، هتي ڪو به رومبس، مستطيل ۽ چورس نه آهن ...

اندازو لڳايو

معلومات شيئر ڪرڻ چار بنيادي سرگرمين مان سڀ کان دلچسپ ۽ مشڪل آھي. هتي، پهريون ڀيرو، اسان هڪ رجحان سان ملن ٿا عام طور تي بالغن ۾: "جواب جو اندازو لڳايو، ۽ پوء چيڪ ڪريو ته توهان صحيح اندازو لڳايو." اهو بلڪل صحيح طور تي ڊينيئل ڪي ڊينٽ طرفان اظهار ڪيو ويو آهي (“غلطيون ڪيئن ٺاهيون؟”، ڪيئن اهو آهي – ڪائنات لاءِ هڪ سائنسي گائيڊ، سي آءِ ايس، وارسا، 1997):

"انداز" جو اهو طريقو اسان جي بالغ زندگي سان مداخلت نٿو ڪري - شايد ان ڪري جو اسان ان کي شروعاتي سکندا آهيون ۽ اندازو لڳائڻ ڏکيو ناهي. نظرياتي طور تي، ساڳيو رجحان ٿئي ٿو، مثال طور، رياضياتي (مڪمل) شامل ڪرڻ ۾. ساڳي جاءِ تي، اسان فارمولا کي ”انداز“ ڪريون ٿا ۽ پوءِ چيڪ ڪريون ٿا ته ڇا اسان جو اندازو درست آهي. شاگرد هميشه کان پڇندا آهن: "اسان کي نموني ڪيئن معلوم ٿيو؟ ان کي ڪيئن ڪڍي سگهجي ٿو؟" جڏهن شاگرد مون کان هي سوال پڇن ٿا، آئون انهن جي سوال کي مذاق ۾ ڦيرايو: "مان اهو ڄاڻان ٿو ڇو ته مان هڪ پروفيسر آهيان، ڇاڪاڻ ته مون کي ڄاڻڻ لاء ادا ڪيو ويو آهي." اسڪول ۾ شاگردن کي ساڳئي انداز ۾ جواب ڏئي سگهجي ٿو، صرف وڌيڪ سنجيده.

هڪ مشق. نوٽ ڪريو ته اسان اضافو ۽ لکت واري ضرب کي گھٽ ۾ گھٽ يونٽ سان شروع ڪريون ٿا، ۽ سڀ کان وڏي يونٽ سان ڊويزن.

ٻن خيالن جو ميلاپ

رياضي جي استادن هميشه نشاندهي ڪئي آهي ته جيڪو اسان بالغن جي علحدگي کي سڏيندا آهيون اهو آهي ٻن تصوراتي طور تي مختلف خيالن جو اتحاد: گھر i جدائي.

پهريون (گھر) ڪمن ۾ ٿئي ٿو جتي آرڪيٽائپ آهي:

ورهائڻ- ورهائڻ اهي ڪم آهن جهڙوڪ:

؟ (اسان هن مسئلي جي اصل انداز کي برقرار رکون ٿا، جيڪو 1892 ۾ ڪراڪو ۾ شايع ٿيل جولين زگوزيليوز جي دستي ڪتاب مان ورتو ويو آهي - زلوٽي رينش زلوٽي آهي، ڪرنسي جيڪا XNUMX صدي جي شروعات تائين آسٽرو-هنگري سلطنت ۾ گردش ۾ هئي).

ھاڻي ٻن مسئلن تي غور ڪريو پولش ۾ سڀ کان پراڻي رياضي درسي ڪتاب، پيءُ توماسز ڪلوس (1538). ڇا اهو ڊويزن يا ڪوپ آهي؟ ان کي حل ڪريو جيئن XNUMX صدي ۾ اسڪول جي ٻارن کي گهرجي:

(پولش کان پولش ترجمو: هڪ بيرل ۾ هڪ کوارٽ ۽ چار ٿانو آهن. هڪ برتن ۾ چار ڪوارٽ آهي. ڪنهن واپار لاءِ 20 zł ۾ 50 بيرل شراب خريد ڪيو. ڊيوٽي ۽ ٽيڪس (اڪسائي؟) 8 zł ٿيندو. ڪيترو 8 zł ڪمائڻ لاءِ ڪوارٽ وڪڻو؟)

راند، فزڪس، مطابقت

ڪڏهن ڪڏهن راندين ۾ توهان کي ڪجهه ورهائڻو پوندو صفر (گول تناسب). خير، ججن کي ڪنهن به طرح سان معاملو ڪيو. بهرحال، تجريدي الجبرا ۾ اهي ايجنڊا تي آهن. غير صفر مقدارجنهن جو چورس صفر آهي. اهو پڻ آساني سان وضاحت ڪري سگهجي ٿو.

هڪ فنڪشن F تي غور ڪريو جيڪو هڪ نقطي (y، 0) کي جهاز ۾ هڪ نقطي سان ملائي ٿو (x، y). F ڇا آهي²، اهو آهي، ايف جي هڪ ٻٽي عملدرآمد؟ زيرو فنڪشن - هر پوائنٽ هڪ تصوير آهي (0,0).

آخرڪار، غير صفر مقدارون جن جو چورس 0 آهي، تقريبن فزڪس جي لاء روزاني ماني آهي، ۽ فارم جو انگ a + bε، جتي ε ≠ 0، پر ε² = 0، رياضي دان سڏين ٿا ٻه نمبر. اهي رياضياتي تجزيي ۽ فرق جي جاميٽري ۾ ٿين ٿا.

سڀ کان پوء، رياضي ۾ ڪا شيء آهي جيڪا گهٽ ۾ گهٽ نالي ۾ صفر جي تقسيم آهي. مان اچي ٿو مطابقت. اچو ته Z کي انٽيجرز جي سيٽ کي ظاهر ڪريو. سيٽ Z کي p ذريعي ورهائڻ جو مطلب اهو آهي ته اسان هر عدد (انٽيجر) کي ڪجهه ٻين جي برابر ڪريون ٿا، يعني انهن کي جن سان انهن جو فرق ورهائي سگهجي ٿو. تنهن ڪري، جڏهن اسان وٽ پنجن قسمن جا انگ آهن جيڪي انگن اکرن سان ملن ٿا 0، 1، 2، 3، 4 - ممڪن باقي رهي ٿو جڏهن 5 سان ورهائجي. فارمولا هن طرح لکيل آهي:

mod جڏهن فرق هڪ کان وڌيڪ آهي.

= 2 لاءِ، اسان وٽ صرف ٻه عدد آهن: 0 ۽ 1. عددن کي ٻن اهڙن طبقن ۾ ورهائڻ برابر آهي برابر ۽ بي جوڙ ۾ ورهائڻ. اچو ته هاڻي ان کي مٽايو. فرق هميشه 1 سان ورهايل هوندو آهي (ڪو به عدد 1 سان ورهائجي ويندو آهي). ڇا اهو وٺڻ ممڪن آهي = 0؟ اچو ته ڪوشش ڪريون: ٻن عددن جو فرق ڪڏھن ٿيندو آھي صفر جي گھڻائي؟ صرف جڏهن اهي ٻه انگ برابر آهن. تنهنڪري عددن جي هڪ سيٽ کي صفر سان ورهائڻ معنيٰ ۾ آهي، پر اهو دلچسپ ناهي: ڪجهه به نه ٿو ٿئي. تنهن هوندي به، ان ڳالهه تي زور ڏنو وڃي ٿو ته هي انگن جو ورهاڱو نه آهي ان معنى ۾ جيڪو ابتدائي اسڪول مان معلوم ٿئي ٿو.

اهڙيون ڪارناما صرف حرام آهن، انهي سان گڏ ڊگهو ۽ وسيع رياضي.

چانور. 2. مقابلو استعمال ڪندي انگن جي سڃاڻپ

(موڊ 5 ۽ موڊ 2)