پيچيده رويي سان سادي نموني يعني افراتفري
ڪمپيوٽر هڪ اوزار آهي جيڪو سائنسدانن پاران فطرت جي احتياط سان لڪيل رازن کي ظاهر ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيو پيو وڃي. ماڊلنگ، تجربن ۽ نظريي سان گڏ، دنيا جي مطالعي جو ٽيون طريقو بڻجي رهيو آهي.
ٽي سال اڳ، سليسيا يونيورسٽي ۾، اسان ڪمپيوٽر جي طريقن کي تعليم ۾ ضم ڪرڻ لاءِ هڪ پروگرام شروع ڪيو. نتيجي طور، تمام گھڻو دلچسپ ڊيڊڪٽڪ مواد ٺاھيو ويو آھي، ڪيترن ئي عنوانن جو مطالعو ڪرڻ آسان ۽ گہرا بڻائيندو آھي. Python کي بنيادي اوزار طور چونڊيو ويو، جيڪو، دستياب سائنسي لائبريرين جي طاقت سان گڏ، شايد "ڪمپيوٽر تجربن" لاء مساوات، تصويرن يا ڊيٽا سان گڏ بهترين حل آهي. هڪ مڪمل ورڪ بينچ جي سڀ کان وڌيڪ دلچسپ عملن مان هڪ آهي ساج [2]. اهو Python ٻولي سان ڪمپيوٽر جي الجبرا سسٽم جو هڪ کليل انضمام آهي، ۽ اهو پڻ توهان کي اجازت ڏئي ٿو ته فوري طور تي هڪ ويب برائوزر استعمال ڪندي کيڏڻ شروع ڪرڻ ۽ هڪ ڪلائوڊ سروس ذريعي ممڪن رسائي جي اختيارن مان هڪ [3] يا هڪ واحد ڪمپيوٽنگ سرور جنهن تي انٽرايڪٽو. هن آرٽيڪل جو نسخو [4] تي ٻڌل آهي.
افراتفري w ekologii
آڪسفورڊ يونيورسٽيءَ ۾ پهرين سالن ۾، آسٽريليا جي سائنسدان رابرٽ مئي ڊيموگرافڪ ڊائنامڪس جي نظرياتي پهلوئن جو اڀياس ڪيو. هن پنهنجي ڪم کي هڪ مقالي ۾ اختصار ڪيو جيڪو جرنل ۾ ظاهر ٿيو فطرت ۾ اشتعال انگیز عنوان ”سادو رياضياتي ماڊلز سان گڏ تمام پيچيده ڊائنامڪس“ [1]. ڪيترن سالن کان، هي مضمون نظرياتي ماحوليات ۾ سڀ کان وڌيڪ حوالو ڏنو ويو آهي. هن ڪم ۾ اهڙي دلچسپي جو سبب ڇا آهي؟
آبادي جي حرڪيات جو ڪلاسيڪل مسئلو ڪنهن خاص نسل جي مستقبل جي آبادي کي ڳڻڻ آهي، ان جي موجوده حالت کي ڏسندي. رياضياتي طور تي، ماحولياتي نظام کي سڀ کان آسان سمجهيو ويندو هو، جنهن ۾ آبادي جي هڪ نسل جي زندگي هڪ موسم رهي ٿي. هڪ سٺو مثال حشرن جي آبادي آهي جيڪي هڪ موسم ۾ مڪمل ميٽامورفوسس مان گذرن ٿا، جهڙوڪ تتليون. وقت قدرتي طور تي جدا جدا دورن ۾ ورهايل آهي 2 آبادي جي زندگي جي چڪر سان لاڳاپيل. اهڙيء طرح، اهڙي ماحولياتي نظام کي بيان ڪندڙ مساواتون قدرتي طور تي نام نهاد آهن الڳ وقت، يعني t = 1,2,3…. رابرٽ مئي ٻين شين جي وچ ۾ اهڙين متحرڪن سان معاملو ڪيو. هن جي استدلال ۾، هن ايڪو سسٽم کي هڪ واحد ذات ڏانهن آسان بڻائي ڇڏيو جنهن جي آبادي گذريل سال جي آبادي جي چوٿين ڪارڪردگي هئي. هي ماڊل ڪٿان آيو؟
آبادي جي ارتقا کي بيان ڪرڻ لاءِ سڀ کان آسان ڌار مساوات هڪ لڪير ماڊل آهي:
جتي i-th موسم ۾ Ni جي گهڻائي آهي، ۽ Ni + 1 ايندڙ موسم ۾ آبادي کي بيان ڪري ٿو. اهو ڏسڻ ۾ آسان آهي ته اهڙي هڪ مساوات ٽن منظرنامي جي اڳواڻي ڪري سگهي ٿي. جڏهن a = 1، ارتقاء آبادي جي سائيز کي تبديل نه ڪندي، ۽ <1 ختم ٿيڻ جي ڪري ٿي، ۽ صورت a > 1 جو مطلب آهي لامحدود آبادي جي واڌ. اهو فطرت ۾ عدم توازن پيدا ڪندو. جيئن ته فطرت ۾ هر شيءِ محدود آهي، ان ڪري اهو سمجهه ۾ اچي ٿو ته هن مساوات کي ترتيب ڏيڻ لاءِ وسيلن جي محدود مقدار جي حساب سان. تصور ڪريو ته ڪيڙا اناج کائيندا آهن، جيڪو هر سال بلڪل ساڳيو آهي. جيڪڏهن حشرا خوراڪ جي مقدار جي مقابلي ۾ ٿورڙا آهن جيڪي اهي ٻيهر پيدا ڪري سگهن ٿا، اهي مڪمل پيداواري طاقت تي ٻيهر پيدا ڪري سگهن ٿا، رياضياتي طور تي مسلسل a > 1 ذريعي طئي ڪيو ويندو آهي. جڏهن ته، حشرن جو تعداد وڌڻ سان، خوراڪ جي کوٽ ٿيندي ۽ پيداوار جي صلاحيت گهٽجي ويندي. هڪ نازڪ صورت ۾، ڪو تصور ڪري سگهي ٿو ته ايترا ڪيترا حشرا پيدا ٿين ٿا جو انهن کي ٻيهر پيدا ڪرڻ جو وقت ملڻ کان اڳ ئي سڄو اناج کائيندو آهي ۽ آبادي مري ويندي آهي. هڪ ماڊل جيڪو کاڌ خوراڪ تائين محدود پهچ جي اثر کي نظر ۾ رکي پهريون ڀيرو 1838ع ۾ Verhulst پاران تجويز ڪيو ويو هو. هن ماڊل ۾، واڌ جي شرح مستقل ناهي، پر آبادي جي حالت تي منحصر آهي:
ترقي جي شرح a ۽ Ni جي وچ ۾ لاڳاپو ھيٺ ڏنل ملڪيت ھئڻ گھرجي: جيڪڏھن آبادي وڌي ٿي، ترقي جي شرح گھٽجڻ گھرجي ڇو ته خوراڪ تائين رسائي مشڪل آھي. يقينن، هن ملڪيت سان ڪيترائي ڪم آهن: اهي مٿين-هيٺ افعال آهن. Verhulst هيٺ ڏنل تعلق پيش ڪيو:
جتي a>0 ۽ مستقل K>0 خوراڪ جي وسيلن جي خصوصيت ڪن ٿا ۽ ان کي ماحول جي صلاحيت چئجي ٿو. K ۾ تبديلي ڪيئن آبادي جي واڌ جي شرح کي متاثر ڪري ٿي؟ جيڪڏهن K وڌي ٿو، Ni/K گھٽجي ٿو. موڙ ۾، هي حقيقت ڏانهن وڌي ٿو ته 1-Ni / K وڌندو آهي، جنهن جو مطلب آهي اهو وڌندو آهي. ان جو مطلب اهو آهي ته ترقي جي شرح وڌي رهي آهي ۽ آبادي تيزي سان وڌي رهي آهي. تنهن ڪري اچو ته اڳئين ماڊل (1) کي تبديل ڪريون اهو فرض ڪندي ته ترقي جي شرح تبديل ٿي رهي آهي جيئن مساوات (3). پوء اسان مساوات حاصل ڪندا آهيون
هن مساوات کي ٻيهر ورجائيندڙ مساوات طور لکي سگهجي ٿو
جتي xi = Ni / K ۽ xi + 1 = Ni + 1 / K وقت i ۽ وقت i + 1 ۾ ٻيهر ماپيل آبادي کي ظاهر ڪن ٿا. مساوات (5) کي منطقي مساوات سڏيو ويندو آهي.
اهو لڳي سگھي ٿو ته اهڙي ننڍڙي ترميم سان، اسان جي ماڊل جو تجزيو ڪرڻ آسان آهي. اچو ته ان کي چيڪ ڪريو. غور ڪريو مساوات (5) پيرا ميٽر لاءِ a = 0.5 شروعاتي آبادي x0 = 0.45 کان شروع ٿي. تسلسل واري آبادي جي قيمت حاصل ڪري سگھجن ٿا ٻيهر ورجائيندڙ مساوات (5):
x1= ڪهاڙي0(1st0)
x2= ڪهاڙي1(1st1)
x3= ڪهاڙي2(1st2)
(6) ۾ حسابن کي آسان ڪرڻ لاءِ، اسان ھيٺ ڏنل پروگرام استعمال ڪري سگھون ٿا (اھو Python ۾ لکيل آھي ۽ ٻين شين سان گڏ، Sage پليٽ فارم تي ھلائي سگھجي ٿو. اسان سفارش ڪريون ٿا ته توھان ڪتاب پڙھو http://icse.us.edu .pl/e-book. )، اسان جي ماڊل کي نقل ڪندي:
هڪ = 0.5 x = 0.45 مون لاءِ رينج ۾ (10): x \u1d a * x * (XNUMX-x) پرنٽ x
اسان xi جي لڳاتار قدرن کي ڳڻيو ۽ نوٽيس ڪيو ته اهي صفر ڏانهن ويندا آهن. مٿي ڏنل ڪوڊ سان تجربو ڪندي، اهو پڻ ڏسڻ ۾ آسان آهي ته اهو صحيح آهي x0 جي شروعاتي قيمت کان سواء. مطلب ته آبادي مسلسل مري رهي آهي.
تجزيي جي ٻئي مرحلي تي، اسان پيراميٽر جي قيمت وڌائيندا آهيون ڪنهن به قيمت جي حد تائين ae (1,3). ان مان معلوم ٿئي ٿو ته پوءِ تسلسل xi هڪ خاص مقدار تائين وڃي ٿو x * > 0. ماحوليات جي نقطه نظر کان ان جي تشريح ڪندي، اسان اهو چئي سگهون ٿا ته آبادي جي ماپ هڪ خاص سطح تي مقرر ڪئي وئي آهي، جيڪا موسم کان موسم ۾ تبديل نه ٿيندي آهي. . اهو نوٽ ڪرڻ جي قابل آهي ته x * جي قيمت ابتدائي رياست x0 تي منحصر نه آهي. هي ماحولي نظام جي استحڪام جي ڪوشش جو اثر آهي - آبادي پنهنجي ماپ کي پاڻ کي کارائڻ جي صلاحيت سان ترتيب ڏئي ٿي. رياضياتي طور، اهو چيو ويندو آهي ته سسٽم هڪ مستحڪم مقرر نقطي ڏانهن اشارو ڪري ٿو، يعني. برابري کي مطمئن ڪرڻ x = f(x) (هن جو مطلب آهي ته ايندڙ لمحي تي رياست ساڳي آهي جيئن اڳئين لمحن ۾). ساج سان، اسان هن ارتقاء کي گرافڪ طور تي آبادي کي وقت سان ترتيب ڏيڻ سان ڏسي سگهون ٿا.
محققن طرفان اهڙي استحڪام واري اثر جي توقع ڪئي وئي هئي، ۽ منطقي مساوات (5) گهڻو ڌيان نه ڏئي ها جيڪڏهن اهو تعجب نه هجي ها. اهو ظاهر ٿيو ته پيٽرولر جي ڪجهه قدرن لاء، ماڊل (5) هڪ غير متوقع طريقي سان ڪم ڪري ٿو. پهرين، اتي وقتي ۽ multiperiodic رياستون آهن. ٻيو، هر دفعي قدم سان، آبادي اڻ برابري سان تبديل ٿي، هڪ بي ترتيب واري حرڪت وانگر. ٽيون، شروعاتي حالتن لاءِ وڏي حساسيت آهي: ٻه لڳ ڀڳ اڻ ڳڻيا شروعاتي رياستون مڪمل طور تي مختلف آبادي جي ارتقا جو سبب بڻجن ٿيون. اهي سڀئي خاصيتون رويي جي خاصيت آهن جيڪي مڪمل طور تي بي ترتيب واري تحريڪ وانگر آهن ۽ ان کي مقرري افراتفري سڏيو ويندو آهي.
اچو ته هن ملڪيت کي ڳوليو!
پهرين، اچو ته پيٽرولر جي قيمت مقرر ڪريو a = 3.2 ۽ ارتقاء کي ڏسو. اهو حيرت انگيز ٿي سگهي ٿو ته هن ڀيري آبادي هڪ قدر نه، پر ٻه پهچي ٿي، جيڪا مسلسل هر ٻئي موسم ۾ ٿيندي آهي. بهرحال، اهو ظاهر ٿيو ته مسئلا اتي ختم نه ٿيا. هڪ = 4 سان، سسٽم هاڻي اڳڪٿي لائق ناهي. اچو ته شڪل (2) تي نظر وجهون يا اسان پاڻ ڪمپيوٽر استعمال ڪندي انگن جو هڪ سلسلو ٺاهينداسين. نتيجا ظاهر ٿين ٿا خالص بي ترتيب ۽ ٿوري مختلف شروعاتي آبادي لاءِ بلڪل مختلف. بهرحال، ڌيان پڙهندڙ کي اعتراض ڪرڻ گهرجي. ڪيئن ٿي سگهي ٿو هڪ نظام بيان ڪيل هڪ تعيناتي مساوات 1، جيتوڻيڪ هڪ تمام سادو، غير متوقع طور تي عمل ڪري سگهي ٿو؟ خير، ٿي سگهي ٿو.
هن سسٽم جي هڪ خاصيت اها آهي ته ان جي شروعاتي حالتن جي قابل ذڪر حساسيت. اهو ڪافي آهي ته ٻن شروعاتي حالتن سان شروع ڪرڻ لاءِ جيڪي هڪ ملين کان مختلف هجن، ۽ صرف چند قدمن ۾ اسان کي مڪمل طور تي مختلف آبادي جا قدر ملندا. اچو ته ڪمپيوٽر تي چيڪ ڪريو:
هڪ = 4.0
x = 0.123 y = 0.123+0.000001 PKC = [] مون لاءِ رينج ۾ (25): x = a*x*(1-x) y = a*y*(1-y) پرنٽ x، y
هتي هڪ سادي نموني آهي deterministic ارتقاء. پر هي عزم فريب آهي، اهو صرف رياضياتي عزم آهي. عملي نقطي نظر کان، سسٽم غير متوقع طور تي عمل ڪري ٿو، ڇاڪاڻ ته اسان ڪڏهن به ابتدائي حالتن کي رياضياتي طور تي مقرر نه ڪري سگهون ٿا. حقيقت ۾، سڀڪنھن شيء کي هڪ خاص درستگي سان طئي ڪيو ويندو آهي: هر ماپي اوزار ۾ هڪ خاص درستگي آهي، ۽ ان جي ڪري ٿي سگهي ٿو عملي غير متوقع طور deterministic نظام جنهن ۾ افراتفري جي ملڪيت آهي. ھڪڙو مثال آھي موسم جي اڳڪٿي ڪندڙ ماڊل، جيڪي ھميشه افراتفري جي ملڪيت ڏيکاريندا آھن. اهو ئي سبب آهي ته ڊگهي مدت جي موسم جي اڳڪٿيون تمام خراب آهن.
افراتفري نظام جو تجزيو انتهائي ڏکيو آهي. بهرحال، اسان ڪمپيوٽر جي تخليقن جي مدد سان افراتفري جي ڪيترن ئي اسرار کي آساني سان حل ڪري سگهون ٿا. اچو ته نام نهاد بائيفرڪشن ڊياگرام ٺاھيون، جنھن تي اسان پيراميٽر a جي قدرن کي abscissa محور سان گڏ رکون ٿا، ۽ لاجسٽڪ ميپنگ جي مستحڪم مقرر پوائنٽن کي آرڊينيٽ محور سان گڏ رکون ٿا. اسان مستحڪم پوائنٽس حاصل ڪريون ٿا ھڪڙي وڏي تعداد ۾ سسٽم کي ٺاھڻ سان ۽ ڪيترن ئي نمونن جي ڀيٽ ۾ قيمتن کي ترتيب ڏيڻ سان. جئين توهان اندازو لڳائي سگهو ٿا، اهو تمام گهڻو حساب جي ضرورت آهي. اچو ته "احتياط سان" هيٺ ڏنل قدرن کي عمل ڪرڻ جي ڪوشش ڪريو:
numpy طور np درآمد ڪريو Nx = 300 اهو = 500 x = np.linspace(0,1, nx) x = x + np.zeros ((Na، Nx)) x = np.transpose(x) a=np.linspace(1,4,Na) a=a+np.zeros((Nx,Na)) مون لاءِ رينج ۾ (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] لاءِ a_,x_ in zip(a.flatten(),x.flatten())] نقطو (pt، سائيز = 1، figsize = (7,5))
اسان کي شڪل سان ملندڙ شيء حاصل ڪرڻ گهرجي (3). هن ڊرائنگ جي تشريح ڪيئن ڪجي؟ مثال طور، پيٽرولر جي قيمت a = 3.3 سان، اسان وٽ 2 مستحڪم مقرر ٿيل پوائنٽون آهن (آبادي جي سائيز هر سيڪنڊ سيزن ۾ ساڳيو آهي). جڏهن ته، پيراميٽر a = 3.5 لاءِ اسان وٽ 4 مستقل نقطا آهن (هر چوٿين سيزن جي آبادي ساڳي سائيز آهي)، ۽ پيراميٽر a = 3.56 لاءِ اسان وٽ 8 مسلسل پوائنٽون آهن (هر اٺين سيزن جي آبادي ساڳي سائيز آهي). پر پيراميٽر a≈3.57 لاءِ، اسان وٽ لامحدود طور تي ڪيترائي مقرر نقطا آهن (آبادي جي سائيز ڪڏهن به نه ورجائي ٿي ۽ غير متوقع طريقن سان تبديل ٿئي ٿي). بهرحال، هڪ ڪمپيوٽر پروگرام سان، اسان پيراميٽر a جي دائري کي تبديل ڪري سگهون ٿا ۽ پنهنجي هٿن سان هن ڊراگرام جي لامحدود جاميٽري ساخت کي ڳولي سگهون ٿا.
هي صرف برفاني چوٽي جو ٽڪرو آهي. هن مساوات بابت هزارين سائنسي مقالا لکيا ويا آهن، پر اهو اڃا تائين ان جي راز کي لڪائيندو آهي. ڪمپيوٽر سموليشن جي مدد سان، توهان ڪري سگهو ٿا، بغير اعليٰ رياضي جو سهارو وٺڻ کان سواءِ، ادا ڪري سگهو ٿا نان لائنر ڊائنامڪس جي دنيا جو علمبردار. اسان توهان کي آن لائن ورزن پڙهڻ جي دعوت ڏيون ٿا جنهن ۾ لاجسٽڪ مساوات جي ڪيترن ئي دلچسپ خاصيتن ۽ انهن کي ڏسڻ جا دلچسپ طريقا شامل آهن.
1 هڪ مقرري وارو قانون هڪ قانون آهي جنهن ۾ مستقبل کي منفرد طور تي ابتدائي رياست طرفان طئي ڪيو ويندو آهي. متضاد لفظ امڪاني قانون آهي. 2 رياضي ۾، "مجرد" جو مطلب آهي قدر حاصل ڪرڻ هڪ خاص ڳڻپيوڪر سيٽ مان. ان جي ابتڙ آهي ”مسلسل“.
