رياضي جي غير حقيقي دنيا ۾ سفر
مون هي مضمون ڪمپيوٽر سائنس جي ڪاليج ۾ ليڪچر ۽ مشق کان پوءِ هڪ ماحول ۾ لکيو. مان هن اسڪول جي شاگردن جي تنقيد، انهن جي ڄاڻ، سائنس ڏانهن رويي، ۽ سڀ کان اهم: تدريسي صلاحيتن جي خلاف پاڻ کي دفاع ڪريان ٿو. هي... انهن کي ڪو به نه سيکاريندو.
مان ايترو دفاعي ڇو آهيان؟ هڪ سادي سبب لاء - مان هڪ عمر ۾ آهيان جڏهن، شايد، منهنجي چوڌاري دنيا اڃا تائين سمجهي نه سگهيو آهي. ٿي سگهي ٿو ته آئون انهن کي سيکاريان ته ڪار هلائڻ بجاءِ گهوڙن کي ڪيئن هارائڻ ۽ ان کي هٽائڻ؟ ٿي سگهي ٿو مان انهن کي قلم سان لکڻ سيکاريان؟ جيتوڻيڪ مون وٽ ماڻهوءَ بابت بهتر راءِ آهي، مان سمجهان ٿو ته مان ”پيروي“ آهيان، پر...
تازو تائين، هاء اسڪول ۾ اهي پيچيده نمبرن بابت ڳالهائي رهيا هئا. ۽ اهو هن اربع تي هو ته مان گهر آيو، ٻاهر نڪري ويو - تقريبن ڪنهن به شاگردن اڃا تائين نه سکيو هو ته اهو ڇا آهي ۽ انهن نمبرن کي ڪيئن استعمال ڪجي. ڪي ماڻهو سڄي رياضي کي ائين ڏسندا آهن جيئن ڪنهن رنگ واري دروازي تي هلنس. پر مون کي پڻ خلوص سان حيرت ٿي هئي جڏهن انهن مون کي ٻڌايو ته ڪيئن سکڻ. آسان لفظ ۾، ليڪچر جو هر ڪلاڪ گھر ۾ پڙهائي جا ٻه ڪلاڪ آهن: هڪ درسي ڪتاب پڙهڻ، هڪ ڏنل موضوع تي مسئلن کي حل ڪرڻ جي شروعاتي تربيت، وغيره. اهڙيءَ طرح تياري ڪري، اسين مشقن تي پهتا آهيون، جتي اسان سڀ ڪجهه بهتر ڪريون ٿا... خوشيءَ سان، شاگردن جو بظاهر اهو خيال هو ته ليڪچر تي ويهڻ - اڪثر ڪري دريءَ کان ٻاهر ڏسڻ، اڳ ۾ ئي ضمانت ڏئي ٿو ته علم سر ۾ داخل ٿيندو.
رکو! هن لاء ڪافي. مان پنهنجي هڪ سوال جو جواب بيان ڪندس جيڪو مون هڪ ڪلاس دوران حاصل ڪيو نيشنل چلڊرن فنڊ، هڪ ادارو جيڪو سڄي ملڪ جي باصلاحيت ٻارن جي مدد ڪري ٿو. سوال (يا بلڪه تجويز) هو:
- ڇا توھان اسان کي غير حقيقي انگن بابت ڪجھ ٻڌائي سگھو ٿا؟
”يقيناً،“ مون جواب ڏنو.
انگن جي حقيقت
”هڪ دوست هڪ ٻيو مان آهي، دوستي 220 ۽ 284 نمبرن جو تناسب آهي،“ پٿگورس چيو. هتي ڳالهه اها آهي ته 220 جي تقسيم ڪندڙن جو مجموعو 284 آهي، ۽ 284 جي تقسيم ڪندڙن جو مجموعو 220 آهي:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. رستي ۾، اسان ياد رکون ٿا ته بائبل جيڪب عيسو کي 220 رڍن ۽ رڍن کي دوستي جي نشاني طور ڏنو (پيدائش 32:14). ).
220 ۽ 284 نمبرن جي وچ ۾ هڪ ٻيو دلچسپ اتفاق هي آهي: سترهن اعليٰ ترين بنيادي نمبر آهن 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، ۽ 59.
انهن جو مجموعو 2x220 آهي، ۽ چورس جو مجموعو 59x284 آهي.
پهريون. "حقيقي نمبر" جو ڪو تصور ناهي. اهو ائين آهي جيئن هاٿين بابت هڪ مضمون پڙهڻ کان پوءِ توهان پڇو، "هاڻي اسان غير هاٿين لاءِ پڇڻ وارا آهيون." هتي مڪمل ۽ نامڪمل، عقلي ۽ غير منطقي آهن، پر ڪي به غير حقيقي نه آهن. خاص طور تي: اهي انگ جيڪي حقيقي نه هوندا آهن انهن کي غلط نه چئبو آهي. رياضي ۾ "نمبر" جا ڪيترائي قسم آھن، ۽ اھي ھڪ ٻئي کان مختلف آھن، جھڙوڪ - ھڪڙو زولوجيڪل مقابلو ڪرڻ لاء - ھڪڙو ھتي ۽ ھڪڙو زميني ڪيڙو.
ٻيو، اسان آپريشن ڪنداسين جيڪي توهان کي اڳ ۾ ئي ڄاڻو ٿا منع ٿيل آهن: منفي انگن جي چورس جڙ کڻڻ. خير، رياضي اهڙين رڪاوٽن کي ختم ڪندو. ڇا اهو مطلب آهي جيتوڻيڪ؟ رياضي ۾، جيئن ڪنهن ٻئي سائنس ۾: ڇا هڪ نظريو هميشه علم جي ذخيري ۾ داخل ٿيندو ... ان جي استعمال تي منحصر آهي. جيڪڏهن اها بيڪار آهي ته پوءِ اها ڪچري ۾ ختم ٿي وڃي ٿي، ته پوءِ علم جي تاريخ ۾ ڪنهن ڪچري ۾. انگن کان سواءِ جن بابت آئون هن مضمون جي آخر ۾ ڳالهائي رهيو آهيان ، رياضي کي ترقي ڪرڻ ناممڪن آهي. پر اچو ته ڪجهه ننڍين شين سان شروع ڪريون. توهان کي خبر آهي ته حقيقي انگ ڇا آهن. اهي نمبر لڪير کي مضبوطي سان ڀريندا آهن ۽ بغير ڪنهن فرق جي. توهان اهو به ڄاڻو ٿا ته قدرتي انگ ڪهڙا آهن: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15، ……. ياداشت اڃا به وڏي. انهن وٽ پڻ هڪ خوبصورت نالو آهي: قدرتي. انهن وٽ ڪيترائي دلچسپ خاصيتون آهن. توهان کي اهو ڪيئن پسند آهي:
1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218
12 + 152 + 422 + 982 + 1232 + 1792 + 2062 + 2202 = 32 + 112 + 462 + 922 + 1292 + 1752 + 2102 + 2182
13 + 153 + 423 + 983 + 1233 + 1793 + 2063 + 2203 = 33 + 113 + 463 + 923 + 1293 + 1753 + 2103 + 2183
14 + 154 + 424 + 984 + 1234 + 1794 + 2064 + 2204 = 34 + 114 + 464 + 924 + 1294 + 1754 + 2104 + 2184
15 + 155 + 425 + 985 + 1235 + 1795 + 2065 + 2205 = 35 + 115 + 465 + 925 + 1295 + 1755 + 2105 + 2185
16 + 156 + 426 + 983 + 1236 + 1796 + 2066 + 2206 = 36 + 116 + 466 + 926 + 1296 + 1756 + 2106 + 2186
17 + 157 + 427 + 983 + 1237 + 1797 + 2067 + 2207 = 37 + 117 + 467 + 927 + 1297 + 1757 + 2107 + 2187
”قدرتي انگن ۾ دلچسپي وٺڻ فطري ڳالهه آهي،“ ڪارل لنڊن هوم، ۽ ليوپولڊ ڪرونڪر (1823-1891) ان کي اختصار سان چيو: ”خدا قدرتي انگ پيدا ڪيا آهن- باقي سڀ ڪجهه انسان جو ڪم آهي! جزا (رياضي جي ماهرن طرفان منطقي انگن کي سڏيو ويندو آهي) پڻ شاندار خاصيتون آهن:
۽ برابري ۾:
توھان ڪري سگھو ٿا، کاٻي پاسي کان شروع ڪندي، پلسز کي رگڙ ڪريو ۽ انھن کي ضرب جي نشانين سان تبديل ڪريو - ۽ برابري صحيح رھندي:
۽ پوء تي.
جيئن توهان ڄاڻو ٿا، فرڪشنن a/b لاءِ، جتي a ۽ b انٽيجرز آهن، ۽ b ≠ 0، چوندا آهن. منطقي نمبر. پر صرف پولش ۾ اھي پاڻ کي سڏيندا آھن. اهي انگريزي، فرينچ، جرمن ۽ روسي ڳالهائيندا آهن. منطقي نمبر. انگريزيءَ ۾: rational numbers. غير منطقي انگ اهو غير منطقي آهي، غير منطقي. اسان غير منطقي نظريات، خيالن ۽ ڪمن جي باري ۾ پولش پڻ ڳالهائينداسين - هي چريو، خيالي، ناقابل بيان آهي. چون ٿا ته عورتون چوڪن کان ڊڄنديون آهن - ڇا اهو ايترو غير منطقي ناهي؟
قديم زماني ۾، انگ هڪ روح هو. هر هڪ جو مطلب هو، هر هڪ شيءِ جي علامت آهي، هر هڪ ڪائنات جي هم آهنگي جو هڪ ذرو ظاهر ڪري ٿو، يعني يوناني ۾، Cosmos. بلڪل لفظ "ڪاسموس" جو مطلب آهي "آرڊر، آرڊر". سڀ کان اهم ڇهه هئا (مڪمل نمبر) ۽ ڏهه، لڳاتار انگن جو مجموعو 1+2+3+4، ٻين نمبرن مان ٺهيل آهي، جنهن جي علامت اڄ ڏينهن تائين برقرار آهي. تنهن ڪري پيٿاگورس سيکاريو ته انگ هر شيء جي شروعات ۽ ذريعو آهن، ۽ صرف دريافت غير منطقي انگ پيٿاگورين تحريڪ جو رخ جاميٽري ڏانهن ڪيو. اسان کي اسڪول کان دليل معلوم ٿئي ٿو ته
√2 هڪ غير معقول انگ آهي
فرض ڪريو ته اتي آهي: ۽ اهو حصو گهٽائي نٿو سگهجي. خاص طور تي، ٻئي p ۽ q بي مثال آهن. اچو ته چورس: 2 ق2=p2. نمبر p بي جوڙ نٿو ٿي سگهي، ان کان پوءِ p2 به هوندو، ۽ برابريءَ جي کاٻي پاسي 2 جو گهڻ آهي. تنهن ڪري، p برابر آهي، يعني p = 2r، تنهن ڪري p.2= 4 آر2. اسان مساوات 2q کي گھٽايو2= 4 آر2 2 ذريعي. اسان حاصل ڪيو q2= 2 آر2 ۽ اسان ڏسون ٿا ته q پڻ برابر هجڻ گهرجي، جيڪو اسان سمجهيو ته ائين نه هو. نتيجو تضاد ثبوت کي پورو ڪري ٿو - هي فارمولا اڪثر ڪري هر رياضياتي ڪتاب ۾ ملي سگهي ٿو. هي اڻ سڌي طرح صوفين جي پسنديده ٽيڪنڪ آهي.
هن وسعت کي پٿاگورين سمجهي نه سگهيا. هر شيءِ کي انگن اکرن سان بيان ڪرڻ جي قابل هجڻ گهرجي، ۽ چورس جي تري، جنهن کي ڪو به ماڻهو هڪ لٺ سان ريل جي پار ٺاهي سگهي ٿو، نه آهي، يعني ماپيبل، ڊگھائي. ”اسان جو ايمان بيڪار هو،“ پيٿاگورينس چون ٿا. ائين ڪيئن؟ اهو هڪ قسم جو آهي ... غير معقول. يونين فرقيوارانه طريقن سان پاڻ کي بچائڻ جي ڪوشش ڪئي. جيڪو به پنهنجي وجود کي ظاهر ڪرڻ جي جرئت ڪري ٿو غير منطقي انگ، موت جي سزا ڏيڻي هئي، ۽، ظاهر آهي، پهرين سزا خود ماسٽر طرفان ڪئي وئي هئي.
پر "سوچ اڻڄاتل گذري ويو." سونهري دور اچي ويو آهي. يونانين پارسين کي شڪست ڏني (مارٿون 490، بلاڪ 479). جمهوريت مضبوط ٿي، فلسفي جي فڪر جا نوان مرڪز ۽ نوان اسڪول پيدا ٿيا. پيٿاگورين اڃا تائين غير معقول انگن سان جدوجهد ڪري رهيا هئا. ڪجهه تبليغ: اسان هن اسرار کي سمجهي نه سگهنداسين؛ اسان صرف غور ڪري سگهون ٿا ۽ حيران ڪري سگهون ٿا Uncharted تي. بعد وارا وڌيڪ عملي هئا ۽ اسرار جو احترام نه ڪندا هئا. ان وقت، ٻه ذهني تعميرات ظاهر ٿيا، جن کي غير منطقي انگن اکرن کي سمجهڻ ممڪن بڻايو. حقيقت اها آهي ته اسان اڄ به انهن کي چڱيءَ طرح سمجھون ٿا، اهو Eudoxus (XNUMX صدي قبل مسيح) سان تعلق رکي ٿو، ۽ اهو صرف XNUMX صدي جي آخر ۾ هو، جڏهن جرمن رياضي دان رچرڊ ڊيڊڪائنڊ Eudoxus جي نظريي کي سختيءَ جي تقاضائن جي مطابق صحيح ترقيءَ جو رستو ڏنو. رياضياتي منطق.
انگن جو ماس يا تشدد
ڇا توھان بغير نمبرن جي رھي سگھوٿا؟ جيتوڻيڪ، اها ڪهڙي قسم جي زندگي هوندي ... اسان کي دڪان تي هڪ لٺ سان بوٽ خريد ڪرڻ گهرجي، جنهن سان اسان اڳ ۾ پيرن جي ڊيگهه ماپ ڪئي هئي. ”مان انب چاهيان ٿو، هي هي آهي! - اسان مارڪيٽ ۾ وڪرو ڪندڙ ڏيکارينداسين. ”ماڊلن کان نووي ڊور مازوويڪي ڪيترو پري آهي“؟ "تمام ويجهو!"
انگن کي ماپڻ لاء استعمال ڪيو ويندو آهي. اسان انهن کي ٻين ڪيترن ئي تصورن کي ظاهر ڪرڻ لاء پڻ استعمال ڪندا آهيون. مثال طور، نقشي جي ماپ ڏيکاري ٿي ته ملڪ جي ايراضي ڪيتري گھٽجي وئي آهي. ٻن کان هڪ پيماني تي، يا صرف 2، حقيقت کي ظاهر ڪري ٿو ته ڪجهه ٻيڻو ڪيو ويو آهي. اچو ته رياضياتي طور تي چئون: هر هڪجهڙائي هڪ انگ سان ملندو آهي - ان جي پيماني تي.
ڪم. اسان هڪ زيوگرافڪ ڪاپي ٺاهي، تصوير کي ڪيترائي ڀيرا وڌايو. پوءِ وڌايل ٽڪرو وري ب دفعا وڌايو ويو. عام ميگنائيزيشن اسڪيل ڇا آهي؟ جواب: a × b سان ضرب. انهن اسڪيل کي ضرب ڪرڻ جي ضرورت آهي. "مائنس ون" نمبر، -1، ھڪڙي درستي سان ملندو آھي جيڪو مرڪز آھي، يعني گھميل 180 درجا. ڪهڙو نمبر 90 درجا موڙ سان ملندو آهي؟ اهڙو ڪو به انگ ناهي. اهو آهي، اهو آهي ... يا بلڪه، اهو جلد ٿيندو. ڇا توهان اخلاقي تشدد لاءِ تيار آهيو؟ بهادر ٿيو ۽ مائنس ون جو چورس روٽ وٺو. مان ٻڌي رهيو آهيان؟ توهان ڇا نٿا ڪري سگهو؟ آخرڪار، مون توهان کي بهادر ٿيڻ لاء چيو. ان کي ٻاهر ڪڍو! هي، چڱو، ڇڪيو، ڇڪيو... مان مدد ڪندس... هتي: -1 هاڻي ته اسان وٽ آهي، اچو ته ان کي استعمال ڪرڻ جي ڪوشش ڪريون... يقينن، هاڻي اسان سڀني ناڪاري انگن جي پاڙ ڪڍي سگهون ٿا، لاءِ مثال.:
√-4 = 2√-1، √-16 = 4√-1
- "قطع نظر ذهني پريشاني جي جيڪا هن ۾ شامل آهي." هي اهو آهي جيڪو Girolamo Cardano 1539 ۾ لکيو، ان سان لاڳاپيل ذهني مشڪلاتن کي دور ڪرڻ جي ڪوشش ڪئي - جيئن جلد ئي سڏيو ويو - خيالي مقدار. هن انهن تي غور ڪيو ...
...ڪم. 10 کي ٻن حصن ۾ ورهايو، جنهن جي پيداوار 40 جي برابر آهي. مون کي ياد آهي ته گذريل قسط کان هن ڪجهه هن طرح لکيو هو: ظاهر آهي ناممڪن. بهرحال، اچو ته هي ڪريون: 10 کي ٻن برابر حصن ۾ ورهايو، هر هڪ برابر 5. انهن کي ضرب ڏيو - اسان کي 25 ملن ٿا. نتيجو 25 مان، هاڻي 40 کي گھٽايو، جيڪڏهن توهان چاهيو، ۽ اسان کي -15 ملندو. ھاڻي ڏسو: √-15 شامل ڪيو ويو ۽ 5 مان گھٽايو ويو توھان کي 40 جو محصول ڏئي ٿو. اھي انگ آھن 5-√-15 ۽ 5 + √-15. نتيجن جي تصديق ڪئي وئي Cardano هن ريت آهي:
”ذهني پريشاني کان قطع نظر، هي شامل آهي، 5 + √-15 کي 5-√-15 سان ضرب ڪريو. اسان 25 - (-15) حاصل ڪندا آهيون، جيڪو 25 + 15 جي برابر آهي. تنهنڪري، پيداوار 40 آهي…. اهو واقعي ڏکيو آهي."
خير، ڪيترو آهي: (1 + √-1) (1-√-1)؟ اچو ته ضرب ڪريون. ياد رهي ته √-1 × √-1 = -1. زبردست. هاڻي هڪ وڌيڪ ڏکيو ڪم: a + b√-1 کان ab√-1 تائين. ڇا ٿيو؟ يقينن، هن طرح: (a + b√-1) (ab√-1) = a2+b2
هن بابت ڇا دلچسپ آهي؟ مثال طور، حقيقت اها آهي ته اسان اظهار ڪري سگهون ٿا حقيقت اها آهي ته اسان "اڳ ۾ نه ڄاڻندا هئا." لاء مختصر ضرب فارمولا2-b2 ڇا توهان کي فارمولا ياد آهي2+b2 اهو نه هو، ڇاڪاڻ ته اهو نه ٿي سگهي. حقيقي انگن جي ڊومين ۾، پولينوميل2+b2 اهو ناگزير آهي. اچو ته "اسان" جي چورس جڙ کي "مائنس ون" جي خط i سان ظاهر ڪريون.2= -1. اهو هڪ "غير حقيقي" بنيادي نمبر آهي. ۽ اھو اھو آھي جيڪو ھڪڙي ھوائي جهاز جي 90 درجا موڙ کي بيان ڪري ٿو. ڇو؟ سپني کان پوءِ،2= -1، ۽ هڪ 90-درجي گردش کي ٻي ساڳي گردش سان گڏ ڪرڻ سان 180-درجي گردش پيدا ٿئي ٿي. ڪهڙي قسم جي گردش بيان ڪئي پئي وڃي؟ اهو صاف آهي - هڪ 45 درجا موڙ. نمبر - i جو مطلب ڇا آھي؟ اهو ٿورو وڌيڪ پيچيده آهي:
(-I)2 = -i × (-i) = +i2 = -1،XNUMX
تنهن ڪري -i پڻ بيان ڪري ٿو 90 درجا گردش، صرف i جي گردش جي مخالف سمت ۾. ڪير کاٻي ۽ ڪير ساڄي؟ توهان کي هڪ ملاقات ڪرڻ گهرجي. اسان فرض ڪريون ٿا ته نمبر I بيان ڪري ٿو هڪ گردش انهي طرف ڏانهن جنهن کي رياضي دان مثبت سمجهن ٿا: گھڙي جي وار وار. نمبر -i ان طرف گردش کي بيان ڪري ٿو جنهن طرف اشارو ڪري رهيا آهن.
پر ڇا i ۽ -i جهڙا انگ موجود آهن؟ آهن! اسان صرف انهن کي زنده ڪيو. مان ٻڌي رهيو آهيان؟ ڇا اهي صرف اسان جي سر ۾ موجود آهن؟ خير ڇا جي اميد ڪجي؟ ٻيا سڀ انگ به صرف اسان جي دماغ ۾ موجود آهن. اسان کي ڏسڻ جي ضرورت آهي ته اسان جي نون زيورن جو تعداد بچندو. وڌيڪ واضح طور تي، ڇا ڊزائن منطقي آهي ۽ ڇا اهي ڪنهن شيء لاء ڪارائتو هوندا. مهرباني ڪري منهنجو لفظ وٺو ان لاءِ ته هر شي ترتيب ۾ آهي ۽ اهي نوان نمبر واقعي مددگار آهن. انگن جهڙوڪ 3+i، 5-7i، وڌيڪ عام طور تي: a+bi کي پيچيده نمبر چئبو آهي. مون توهان کي ڏيکاريو ته توهان انهن کي ڪيئن حاصل ڪري سگهو ٿا جهاز کي گھمائيندي. اهي مختلف طريقن سان داخل ڪري سگھجن ٿا: جهاز جي پوائنٽن وانگر، ڪجهه پولينوميلز وانگر، ڪجهه قسم جي عددي صفن وانگر ... ۽ هر وقت اهي ساڳيا آهن: مساوات x2 +1=0 ڪو به عنصر ناهي... هيڪس پوڪس اڳ ۾ ئي موجود آهي!!!! اچو ته خوشيون ۽ خوشيون !!!
دوري جي پڄاڻي
هي جعلي نمبرن جي ملڪ جي اسان جي پهرين دوري کي ختم ڪري ٿو. ٻين اڻ ڄاتل انگن مان، مان انهن جو به ذڪر ڪندس جن جي اڳيان عددن جو لامحدود تعداد آهي، نه ته پويان (انهن کي 10-adic سڏيو ويندو آهي، اسان لاءِ p-adic وڌيڪ اهم آهن، جتي p هڪ بنيادي نمبر آهي) لاءِ. مثال X = ...... 96109004106619977392256259918212890625
اچو ته ڳڻيون X مهرباني2. جيئن؟ ڇا جيڪڏهن اسان هڪ عدد جي چورس کي ڳڻپ ڪريون جنهن جي پٺيان انگن جو لامحدود تعداد هجي؟ خير، اچو ته اهو ئي ڪريون. اسان ڄاڻون ٿا ته x2 = ايڇ.
اچو ته هڪ ٻيو اهڙو نمبر ڳوليون جنهن جي سامهون لامحدود انگن اکرن جي برابر هجي جيڪا مساوات کي پورو ڪري. اشارو: هڪ عدد جو چورس جيڪو ڇهن تي ختم ٿئي ٿو اهو به ڇهن تي ختم ٿئي ٿو. 76 تي ختم ٿيندڙ عدد جو چورس به 76 تي ختم ٿئي ٿو. 376 تي ختم ٿيندڙ عدد جو چورس به 376 تي ختم ٿئي ٿو. 9376 تي ختم ٿيندڙ عدد جو چورس به 9376 تي ختم ٿئي ٿو. عدد جو چورس جيڪو ختم ٿئي ٿو XNUMX ۾. XNUMX تي… اهڙا انگ پڻ آهن جيڪي تمام ننڍا آهن، مثبت هجڻ جي ڪري، اهي ڪنهن ٻئي مثبت نمبر کان ننڍا آهن. اهي تمام ننڍا آهن ته ڪڏهن ڪڏهن اهو ڪافي آهي ته انهن کي چورس صفر حاصل ڪرڻ لاء. اھڙا انگ آھن جيڪي شرط کي پورو نٿا ڪن a × b = b × a. لامحدود انگ پڻ آهن. ڪيترا قدرتي انگ آهن؟ لامحدود گهڻا؟ ها، پر ڪيترو؟ اهو ڪيئن هڪ انگ جي طور تي بيان ڪري سگهجي ٿو؟ جواب: لامحدود انگن جو سڀ کان ننڍڙو؛ اهو هڪ خوبصورت خط سان نشان لڳل آهي: A ۽ هڪ صفر انڊيڪس A سان گڏ0 , aleph-صفر.
اهڙا انگ پڻ آهن جيڪي اسان نٿا ڄاڻون موجود آهن... يا ته توهان يقين ڪري سگهو ٿا يا انڪار ڪري سگهو ٿا جيئن توهان چاهيو. ۽ وانگر ڳالهائڻ: مون کي اميد آهي ته توهان اڃا تائين غير حقيقي نمبر، تصوراتي نسلن جا نمبر پسند ڪندا.
