پنج دفعا اکين ۾
2020 جي آخر ۾، يونيورسٽين ۽ اسڪولن ۾ ڪيترائي واقعا منعقد ڪيا ويا جيڪي ملتوي ڪيا ويا ... مارچ کان. انهن مان هڪ ”جشن“ پي ڊي جو هو. ان موضوع تي، مون 8 ڊسمبر تي سائليس يونيورسٽي ۾ ريموٽ ليڪچر ڏنو، ۽ هي مضمون ان ليڪچر جو تت آهي. سڄي پارٽي 9.42 تي شروع ٿي ۽ منهنجو ليڪچر 10.28 تي مقرر آهي. اها درستگي ڪٿان آئي؟ اھو سادو آھي: 3 ڀيرا pi اٽڪل 9,42 آھي، ۽ pi کان 2 پاور اٽڪل 9,88 آھي، ۽ ڪلاڪ 9 کان 88 پاور آھي 10 کان 28 پاور ...
هن نمبر کي عزت ڏيڻ جو رواج آهي دائري جي فريم جي ان جي قطر جي تناسب کي ظاهر ڪرڻ ۽ ڪڏهن ڪڏهن سڏيو ويندو آهي آرڪيميڊيز جو مستقل (۽ پڻ جرمن ڳالهائيندڙ ثقافتن ۾)، آمريڪا مان نڪرندو آهي (پڻ ڏسو: ). 3.14 مارچ "آمريڪي انداز" 22:22 تي، تنهنڪري خيال. پولش برابري 7 جولاءِ ٿي سگهي ٿي، ڇاڪاڻ ته 14/XNUMX حصو π جي چڱيءَ طرح لڳندو آهي، جنهن کي آرڪيميڊيز اڳ ۾ ئي ڄاڻندو هو. خير، مارچ XNUMXth لاڳاپيل واقعن لاءِ بهترين وقت آهي.
اهي ٽي ۽ چوڏهن سؤ هين انهن چند رياضياتي پيغامن مان هڪ آهن جيڪي اسان جي باقي زندگي لاءِ اسڪول مان ڇڏي ويا آهن. هرڪو ڄاڻي ٿو ان جو مطلب ڇا آهي "پنج دفعا اکين ۾". اهو زبان ۾ ايترو ته جڙيل آهي جو ان کي مختلف انداز ۾ بيان ڪرڻ مشڪل آهي. جڏهن مون ڪار جي مرمت جي دڪان تي پڇيو ته مرمت تي ڪيترو خرچ اچي سگهي ٿو، ميڪنڪ هڪ لمحي لاءِ سوچيو ۽ چيو: ”پنج دفعا اٺ سؤ زلوٽس“. مون صورتحال مان فائدو وٺڻ جو فيصلو ڪيو. "توهان جو مطلب آهي هڪ معمولي اندازي؟" مکينڪ شايد سوچيو ته مون صحيح نه ٻڌو آهي، تنهن ڪري هن ورجايو: ”مون کي خبر ناهي ته ڪيترو آهي، پر پنج ڀيرا اکين سان اهو 800 ٿيندو.
.
اهو ڇا جي باري ۾ آهي؟ ٻي عالمي جنگ کان اڳ واري اسپيلنگ ۾، ”نه“ گڏجي استعمال ڪيو ويو، ۽ مون ان کي اتي ئي ڇڏي ڏنو. اسان هتي حد کان وڌيڪ ٿلهي ليکي شاعريءَ جو ذڪر نه ڪري رهيا آهيون، جيتوڻيڪ مون کي اهو خيال پسند آهي ته ”سونهن جو ٻيڙو خوشيءَ کي ڇهي ٿو. شاگردن کان پڇيو: هن خيال جو مطلب ڇا آهي؟ پر هن متن جي قيمت ٻئي هنڌ آهي. ھيٺين لفظن ۾ اکرن جو تعداد pi جي توسيع جا انگ آھن. اچو ته هڪ نظر وٺو:
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117
1596 ع ۾، جرمن نسل جو هڪ ڊچ سائنسدان Ludolf van Ceulen 35 decimal جڳهن تي pi جي قيمت درست ڪئي. اهي انگ اکر پوءِ سندس قبر تي اُڪريل هئا. هن هڪ نظم نمبر پي ۽ اسان جي نوبل انعام يافته کي وقف ڪئي، Wyslava Szymborska. Szymborska هن نمبر جي غير وقفي ۽ حقيقت تي متوجه ٿيو هو ته امڪان 1 سان هر انگن جو سلسلو، مثال طور اسان جو ٽيليفون نمبر، اتي ظاهر ٿيندو. جڏهن ته پهرين ملڪيت هر غير معقول نمبر ۾ موروثي آهي (جنهن کي اسان کي اسڪول کان ياد رکڻ گهرجي)، ٻيو هڪ دلچسپ رياضياتي حقيقت آهي جنهن کي ثابت ڪرڻ ڏکيو آهي. توھان ھي ائپس پڻ ڳولي سگھو ٿا جيڪي پيش ڪن ٿيون: مون کي پنھنجو فون نمبر ڏيو ۽ مان توھان کي ٻڌائيندس اھو ڪٿي آھي pi ۾.
جتي گولائي آهي، اتي ننڊ آهي. جيڪڏهن اسان وٽ هڪ گول ڍنڍ آهي، ته پوء ان جي چوڌاري گھمڻ هڪ ترڻ کان 1,57 ڀيرا ڊگهو آهي. يقينن، هن جو مطلب اهو ناهي ته اسان جي ڀيٽ ۾ هڪ اڌ کان ٻه ڀيرا سست ترڻ ڪنداسين. مون 100 ميٽر سوئمنگ جو ورلڊ رڪارڊ 100 ميٽر ورلڊ رڪارڊ سان شيئر ڪيو. دلچسپ ڳالهه اها آهي ته مردن ۽ عورتن جو نتيجو لڳ ڀڳ ساڳيو آهي ۽ 4,9 آهي. اسان ڊوڙڻ کان 5 ڀيرا سست ترندا آهيون. روئنگ مڪمل طور تي مختلف آهي - پر هڪ دلچسپ چئلينج. اتي ڪافي ڊگهي ڪهاڻي آهي.
تعاقب ڪندڙ ولن کان ڀڄندي، سهڻو ۽ عاليشان گڊ ون ڍنڍ ڏانهن هليو ويو. ولن ساحل سان گڏ ڊوڙندو آهي ۽ انتظار ڪري ٿو ته هو هن کي زمين تي مجبور ڪري. يقينن، هو ڊوبري جي قطار کان تيز ڊوڙندو آهي، ۽ جڏهن آساني سان ڊوڙندو آهي، ڊوبري تيز آهي. تنهن ڪري برائي لاءِ واحد موقعو آهي ساحل جي ويجهو سٺو حاصل ڪرڻ - ريوالور مان هڪ درست شاٽ هڪ آپشن ناهي ، ڇاڪاڻ ته ... سٺي وٽ قيمتي معلومات آهي جيڪا برائي ڄاڻڻ چاهي ٿي.
سٺي حڪمت عملي هن ريت آهي. هو ڍنڍ جي ڪناري سان ترڻ ڪري، آهستي آهستي ڪناري تي اچي رهيو آهي، پر هميشه شيطان جي سامهون ٿيڻ جي ڪوشش ڪندو آهي، جيڪو کاٻي ۽ ساڄي طرف افراتفري سان هلندو آهي. اهو تصوير ۾ ڏيکاريل آهي. اچو ته ايول جي شروعاتي پوزيشن Z ٿي1، ۽ ڊوبري ڍنڍ جي وچ ۾ آهي. جڏهن Zly Z ڏانهن منتقل ٿئي ٿو1،چڱو به سوڙهو ڪندو ڊي.1جڏهن خراب Z ۾ آهي2، ڊي تي سٺو2. اهو زگ زيگ (Zigzag) ۾ وهندو، پر ضابطي جي مطابق: Z کان جيترو پري ٿي سگهي. جڏهن ته، جيئن ته اهو ڍنڍ جي مرڪز کان پري ٿيندو، تيئن گڊ کي تمام وڏي ۽ وڏي دائري ۾ هلڻ گهرجي ۽ ڪنهن نقطي تي اُهو برقرار نه ٿو رهي سگهي. ”برائيءَ جي ٻئي پاسي هجڻ“ جو اصول. پوءِ هو پنهنجي پوري طاقت سان ڪناري ڏانهن ڊوڙڻ لڳو، ان اميد سان ته شيطان ڍنڍ جي چوڌاري نه وڃي. ڇا سٺو ڪامياب ٿيندو؟
جواب ان تي منحصر آهي ته بيڊ جي پيرن جي قيمت جي ڀيٽ ۾ سٺي ڪيتري تيز قطار ڪري سگهي ٿي. فرض ڪريو ته خراب ماڻهو ان رفتار سان ڊوڙي ٿو جيڪا سٺي ماڻهوءَ جي رفتار کان هڪ ڀيرا وڌيڪ آهي. نتيجي طور، سڀ کان وڏو دائرو جنهن ۾ نيڪيءَ کي برائيءَ جي مزاحمت ڪرڻ لاءِ قطار ۾ بيهاري سگهجي ٿو، اهو ريڊيس ڍنڍ جي ريڊيس کان هڪ ڀيري ننڍو آهي. تنهن ڪري، اسان وٽ ڊرائنگ ۾ آهي. پوائنٽ W تي، اسان جي ڊوبري ڪناري ڏانهن قطار شروع ٿئي ٿي. اهو وڃڻ گهرجي
رفتار سان
هن کي وقت گهرجي.
برائي پنهنجي بهترين پيرن سان هر ڪنهن جو تعاقب ڪري رهيو آهي. هن کي اڌ دائرو مڪمل ڪرڻ گهرجي، جيڪو هن کي سيڪنڊ يا منٽ وٺندو، چونڊيل يونٽن تي منحصر ڪري ٿو. جيڪڏهن اهو هڪ خوش آخر کان وڌيڪ آهي:
چڱائي به ڇڏي ويندي. سادو اڪائونٽ ڏيکاري ٿو ته اهو ڇا هجڻ گهرجي. جيڪڏهن ڪو خراب ماڻهو ڪنهن سٺي ماڻهوءَ کان 4,14 ڀيرا وڌيڪ تيز ڊوڙندو ته اهو خرابيءَ سان ختم ٿيندو. ۽ هتي اسان جو پي نمبر پڻ راند ۾ اچي ٿو.
جيڪو گول آهي سو خوبصورت آهي. اچو ته ٽن آرائشي پليٽن جي تصوير تي نظر رکون - مون وٽ انھن کي پنھنجي والدين کان پوء آھي. انهن جي وچ ۾ curvilinear مثلث جي ايراضي ڇا آهي؟ هي هڪ سادو ڪم آهي؛ جواب ساڳئي تصوير ۾ آهي. اسان کي حيرت نه آهي ته اهو فارمولا ۾ ظاهر ٿئي ٿو - آخرڪار، جتي گولائي آهي، اتي پائي آهي.
مون ممڪن طور اڻ ڄاتل لفظ استعمال ڪيو:. اهو جرمن ڳالهائيندڙ ڪلچر ۾ pi جو نالو آهي، ۽ اهو سڀ ڪجهه ڊچ جي مهرباني آهي (اصل ۾ هالينڊ ۾ رهندڙ هڪ جرمن - قوميت ان وقت ڪا به اهميت نه هئي)، لودولف آف سيولينا... 1596 ۾ جي. هن حساب ڪيو ته 35 انگن اکرن کي ان جي توسيع جي ڊيسيمل تائين. اهو رڪارڊ 1853ع تائين قائم رهيو وليم رترفورڊ 440 هنڌن جي ڳڻپ ڪئي وئي. دستي حسابن لاءِ رڪارڊ هولڊر آهي (شايد هميشه لاءِ) وليم شنڪسجيڪو ڪيترن سالن جي محنت کان پوءِ (1873ع ۾) شايع ٿيو. 702 انگن تائين وڌايو. اهو 1946 تائين نه هو ته آخري 180 انگن اکرن کي غلط ثابت ڪيو ويو، پر اهي ائين ئي رهيا. 527 صحيح آهي. اهو پاڻ کي بگ ڳولڻ لاء دلچسپ هو. جلد ئي نتيجن جي اشاعت کان پوء، شنڪس شڪ ڪيو ته "ڪجهه غلط هو" - ترقي ۾ مشڪوڪ طور تي ڪجهه ست هئا. اڃا تائين غير ثابت ٿيل (ڊسمبر 2020) مفروضو ٻڌائي ٿو ته سڀني انگن کي برابر تعدد سان ظاهر ٿيڻ گهرجي. هن ڊي ٽي فرگوسن کي حوصلا افزائي ڪئي ته شينڪس جي حسابن تي ٻيهر غور ڪيو ۽ شاگردن جي غلطي ڳولي!
بعد ۾، ڳڻپيوڪر ۽ ڪمپيوٽرن ماڻهن جي مدد ڪئي. موجوده (ڊسمبر 2020) رڪارڊ هولڊر - تيموٿي موليڪن (50 ٽريلين ڊيسيمل جڳھون). حساب ورتو ويو ... 303 ڏينهن. اچو ته کيڏيون: جيڪڏهن معياري ڪتاب ۾ ڇپجي ته اهو نمبر ڪيترو جاء وٺندو؟ تازو تائين، متن جي پرنٽ ٿيل "سائيڊ" 1800 اکرن (30 لائنن جون 60 لائنون) هئي. اچو ته اکرن جي تعداد ۽ صفحي جي مارجن کي گھٽائي، ھڪڙي صفحي تي 5000 اکر ٺاھيو، ۽ 50 صفحن جا ڪتاب ڇپائي سگھون. اهڙيء طرح، XNUMX ٽريلين ڪردارن ڏهه لک ڪتاب کڻندا. خراب ناهي، صحيح؟
سوال اهو آهي ته اهڙي جدوجهد جو مقصد ڇا آهي؟ خالص معاشي نقطه نظر کان، ٽيڪس ادا ڪندڙ کي رياضي دانن جي اهڙي ”تفريح“ لاءِ ڇو ادا ڪرڻ گهرجي؟ جواب پيچيده نه آهي. پهريون، Seulen کان حسابن لاءِ خال ايجاد ڪيا, پوء مفيد logarithmic حساب لاء. جيڪڏھن انھن کيس چيو: مھرباني ڪري خال ٺاھيو، ھو جواب ڏيندو: ڇو؟ ساڳيو حڪم: جئين توهان کي خبر آهي، اها دريافت مڪمل طور تي حادثاتي نه هئي، پر اڃا تائين هڪ مختلف قسم جي تحقيق جي پيداوار آهي.
ٻيو، اچو ته پڙهون ته هو ڇا لکي ٿو تيموٿي موليڪن. هتي سندس ڪم جي شروعات جي هڪ reproduction آهي. پروفيسر مولڪن سائبر سيڪيورٽي ۾ ڪم ڪري ٿو، ۽ پي نمبر هڪ ننڍڙو شوق آهي جتي هو صرف پنهنجي نئين سائبر سيڪيورٽي سسٽم جي جانچ ڪري رهيو هو.
پر اهو 3,14159 انجنيئرنگ ۾ ڪافي کان وڌيڪ آهي، اهو ٻيو معاملو آهي. اچو ته هڪ سادي حساب ڏيو. مشتري سج کان 4,774 Tm پري آهي (terameter = 1012 ميٽر). 1 مليميٽر جي بيحد درستگي سان اهڙي ريڊيس سان اهڙي دائري جي فريم کي ڳڻڻ لاءِ، اهو π = 3,1415926535897932 وٺڻ ڪافي هوندو.
هيٺ ڏنل تصوير هڪ چوٿون دائرو ڏيکاري ٿو جيڪو ليگو سرن مان ٺهيل آهي. مون 1774 پيڊ استعمال ڪيو ۽ اهو 3,08 جي ڀرسان پي هو. بهترين ناهي، پر ڇا اميد ڪجي؟ چوڪن مان دائرو نٿو ٺاهي سگهجي.
بلڪل. نمبر π ان حقيقت لاءِ سڃاتو وڃي ٿو چورس دائرو - هڪ رياضياتي مسئلو جيڪو 2000 سالن کان وڌيڪ ان جي حل جو انتظار ڪري رهيو آهي - يوناني دور کان وٺي. ڇا اهو ممڪن آهي ته هڪ ڪمپاس ۽ حڪمران استعمال ڪري هڪ چورس ٺاهڻ لاء جنهن جي ايراضي ڏنل دائري جي ايراضي جي برابر هجي؟
اصطلاح ”دائرن جو چورس“ پڻ ڪوچيءَ جي ٻوليءَ ۾ داخل ٿي چڪو آهي هڪ ناممڪن شيءِ جي علامت طور. مان چاٻي کي دٻائي پڇان ٿو ته ڇا هي اسان جي خوبصورت ملڪ جي شهرين کي ورهائي دشمني جي خندق ڀرڻ جي ڪا ڪوشش آهي؟ پر مان پهريان ئي هن موضوع کان پاسو ڪري رهيو آهيان، ڇاڪاڻ ته مان شايد صرف رياضي بابت سٺو محسوس ڪريان ٿو.
۽ وري ساڳي ڳالهه - دائري کي چورس ڪرڻ واري مسئلي جو حل اهڙي طرح ظاهر نه ڪيو ويو آهي ته حل جو مصنف، چارلس لينڊمن1882ع ۾ هو پرعزم هو ۽ آخرڪار ڪامياب ٿيو. ڪجهه حد تائين ها، پر اهو هڪ وسيع محاذ کان حملي جو نتيجو هو. رياضي دان اهو سکيو آهي ته انگ مختلف قسمن ۾ اچن ٿا. نه رڳو پورو انگ، منطقي (يعني جزا) ۽ غير منطقي. امڪاني صلاحيت به بهتر يا خراب ٿي سگهي ٿي. اسان کي اسڪول کان ياد اچي سگھي ٿو ته هڪ غير منطقي نمبر √2 آهي، هڪ عدد جيڪو چورس جي ڊگھائي جي ڊگھائي ۽ ان جي پاسي جي ڊيگهه جي تناسب کي ظاهر ڪري ٿو. ڪنهن به غير منطقي نمبر وانگر، ان ۾ اڻڄاتل واڌارو آهي. مان توهان کي ياد ڏياران ٿو ته وقتي توسيع عقلي انگن جي ملڪيت آهي، يعني. نجي عدد
هتي انگن جي ترتيب 142857 کي لامحدود طور تي ورجايو ويو آهي √2 لاء اهو نه ٿيندو - هي غير معقوليت جو حصو آهي. پر توهان ڪري سگهو ٿا:
(فرق هميشه لاء جاري آهي). اسان هتي هڪ نمونو ڏسون ٿا، پر هڪ مختلف قسم جو. Pi ايترو عام ناهي. اهو حاصل نه ٿو ڪري سگهجي هڪ الجبرائي مساوات کي حل ڪرڻ سان - اهو آهي، جنهن ۾ ڪو به چورس روٽ نه آهي، نه لاگارٿم، نه ٽريگونوميٽرڪ افعال. اهو اڳ ۾ ئي ظاهر ڪري ٿو ته اهو تعميري نه آهي - دائرو ڊرائنگ quadratic افعال ڏانهن وٺي ٿو، ۽ لائينون - سڌيون لائينون - پهرين درجي جي مساوات ڏانهن.
شايد مان اصلي فريب کان ڀڄي ويو آهيان. صرف سموري رياضي جي ترقيءَ ان کي ممڪن بڻائي ڇڏيو ته جڙن ڏانهن موٽڻ - مفڪرن جي قديم خوبصورت رياضي ڏانهن، جن اسان لاءِ يورپي ڪلچر جو فڪر پيدا ڪيو، جيڪو اڄڪلهه ڪجهه شڪي آهي.
مختلف نمائندن جي نمونن مان، مون ٻن کي چونڊيو آهي. اسان انهن مان پهريون نالو سرن سان ڳنڍيندا آهيون Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
پر هو سنگامگراما (1350-1425) جي وچين دور جي هندو اسڪالر ماڌوا کي (ماڊل، ليبنز نه) سڃاتو ويندو هو. ان وقت معلومات جي منتقلي ننڍي هئي - انٽرنيٽ ڪنيڪشن گهڻو ڪري خراب هوندا هئا، ۽ موبائيل فونن لاءِ بيٽريون نه هيون (ڇاڪاڻ ته اليڪٽرانڪس اڃا ايجاد نه ٿي هئي!). فارمولا خوبصورت آهي، پر حسابن لاءِ بيڪار. هڪ سو اجزاء پيدا ڪري ٿو "صرف" 3,15159.
هو ٿورو بهتر آهي Viète جو فارمولا (چوڌاري مساواتن مان ھڪڙو)، ۽ ان جو فارمولا پروگرام ڪرڻ آسان آھي ڇو ته پيداوار ۾ ايندڙ اصطلاح پوئين ھڪڙي جمع ٻن جو چورس روٽ آھي.
اسان ڄاڻون ٿا ته دائرو گول آهي. اسان چئي سگهون ٿا ته اهو 100 سيڪڙو گول آهي. هڪ رياضي دان پڇندو: ڇا ڪا شيءِ 1 سيڪڙو گول نه ٿي سگهي؟ ظاهري طور تي هي هڪ آڪسيمورون آهي، هڪ جملو جنهن ۾ لڪيل تضاد آهي، جهڙوڪ گرم برف. پر اچو ته اندازو لڳائڻ جي ڪوشش ڪريون ته انگ اکر ڪيئن گول ٿي سگهن ٿا. اهو ظاهر ٿئي ٿو ته هڪ سٺي ماپ ڏنل فارمولا طرفان ڏنل آهي، جنهن ۾ S ايراضي آهي ۽ L شڪل جي فريم آهي. اچو ته اهو معلوم ڪريون ته دائرو حقيقت ۾ گول آهي، اهو سگما 6 برابر آهي. هڪ دائري جو علائقو فريم آهي. اسان داخل ڪيو ... ۽ ڏسو ته ڇا صحيح آهي. هڪ چورس ڪيترو گول آهي؟ حساب بلڪل سادو آهي، مان انهن کي به نه ڏيندس. اچو ته هڪ ريڊيس سان دائري ۾ لکيل هڪ باقاعده مسدس وٺون. فريم واضح طور تي XNUMX آهي.
پالش
ڇا هڪ باقاعده مسدس بابت؟ ان جو فريم 6 آهي ۽ ان جي ايراضي آهي
تنهنڪري اسان وٽ آهي
جيڪو تقريبن 0,952 جي برابر آهي. مسدس 95٪ "گول" کان وڌيڪ آهي.
هڪ دلچسپ نتيجو حاصل ڪيو ويو آهي جڏهن راندين جي اسٽيڊيم جي گول جي حساب سان. IAAF ضابطن جي مطابق، سڌي ۽ وکر جي ڊيگهه 40 ميٽر هجڻ گهرجي، جيتوڻيڪ انحراف جي اجازت آهي. مون کي ياد آهي ته اوسلو ۾ بسليٽ اسٽيڊيم تمام تنگ ۽ ڊگهو هو. مان لکان ٿو ”هو“ ڇاڪاڻ ته مان ان تي به ڊوڙي چڪو آهيان (هڪ شوقين لاءِ!) ، پر XNUMX سال اڳ کان وڌيڪ. اچو ته هڪ نظر وٺو:
جيڪڏهن هڪ قوس جو ريڊيس 100 ميٽر هوندو ته ان قوس جو ريڊيس ميٽر هوندو. لان جي ايراضي چورس ميٽر آهي، ۽ ان جي ٻاهران ايراضي (جتي جمپنگ بورڊ آهن) چورس ميٽر تائين وڌائي ٿو. اچو ته هن فارمولي ۾ وجهي:
پوءِ ڇا راندين واري اسٽيڊيم جي گولائيءَ جو هڪ برابري مثلث سان ڪو واسطو آهي؟ ڇاڪاڻ ته هڪ برابري مثلث جي اوچائي ان جي پاسن جي برابر آهي. اهو انگن جو هڪ بي ترتيب اتفاق آهي، پر اهو سٺو آهي. مون کي هي پسند آهي. پڙهندڙن بابت ڇا؟
خير، اهو سٺو آهي ته اهو گول آهي، جيتوڻيڪ ڪجهه شايد بحث ڪري سگھن ٿا ڇو ته وائرس جيڪو اسان سڀني کي متاثر ڪري ٿو گول آهي. گهٽ ۾ گهٽ اهو آهي ته اهي ڪيئن ٺاهيندا آهن.
